Математическое описание звеньев САУ в динамическом режиме

Переходные режимы. Под динамической характеристикой звена понимают зависимость выходной величины у от входной величины х в переходном — динамическом — режиме, когда х и у меняются во времени (рис. 2.2, б). На характер изменения динамической характеристики оказывает влияние инерционность звена, из-за которой выходная величина изменяется в динамическом режиме с некоторым запаздыванием, но отношению к изменению входной величины.

Для описания переходных режимов используют дифференциальные уравнения, передаточные функции, переходные временные и частотные характеристики. Рассмотрим различные формы представления динамических характеристик. Ниже мы познакомимся с различными типами звеньев САР. Здесь же в качестве примера разберем анализ динамических процессов в наиболее распространенном типовом звене — инерционном звене первого порядка.

В статике, г. е. когда входная х и выходная у величины не изменяются, они связаны линейной зависимостью у = kx (рис. 2.2, а).

Рис. 2.2. Статическая (а) и динамическая (б) характеристики инерционного звена первого порядка Если в инерционном звене первого порядка входная величина х изменяется во времени, то выходная величина у гоже будет изменяться во времени, но повторяя изменение х с некоторым запаздыванием — инерцией (рис. 2.2, б). Отсюда и название этого звена.

В инерционном звене первого порядка скорость изменения выходной величины у в зависимости от входной величины х пропорциональна разности между заданным и фактическим значениями выходной величины, что записывается в виде дифференциального уравнения в форме Коши:

где у, х — значения соответственно выходного и входного сигналов; t — текущее значение времени, с; Т — постоянная времени, измеряемая в единицах времени, чаще всего в секундах; она определяет скорость протекания процесса или скорость реагирования; k — коэффициент передачи (усиления).

Умножив обе части уравнения (2.4) на Т, получим дифференциальное уравнение инерционного звена в канонической форме:

Всякое звено независимо от его физической природы и конструкции, описываемое дифференциальным уравнением (2.5), называют инерционным звеном первого порядка или апериодическим звеном первого порядка. Это звено характеризуется двумя параметрами: коэффициентом усиления k и постоянной времени Т.

Решение дифференциального уравнения (2.5) при нулевых начальных условиях и скачкообразном изменении входной величины от х = О до х = 1 = const общеизвестно:

Дифференциальное уравнение (2.5) может быть представлено в операторной (алгебраической) форме, которая позволяет вместо операций дифференцирования и интегрирования реальных функций времени (оригиналов) x (t), y (t) производить более простые алгебраические операции умножения и деления над операторными изображениями Х (р), Y (p) этих функций. При этом каждой функции времени должно однозначно соответствовать одно-единственное операторное изображение, не зависящее от времени. Переход от дифференциальной формы уравнения к алгебраической, или от оригиналов к изображениям, основан на прямом преобразовании Лапласа:

где Х (р), Y (p) — изображения действительных функций времени (оригиналов) х (?), //(/); р = s +усо — комплексная переменная, называемая оператором Лапласа, в которой s — действительная часть, /со — мнимая часть, у = v-1.

Прямое преобразование Лапласа обозначают буквой L, и переход от оригиналов к изображениям с помощью прямого преобразования Лапласа записывают следующим образом:

где U (p) — операторное изображение напряжения u (t).

На практике переход от оригинала к изображению при нулевых начальных условиях выполняют формальной заменой функций x (t), y (t) на их изображения Х (р), Y (p). Операция дифференцирования d/dt заменяется умножением изображения на оператор р, операции интегрирования /л — делением изображения на оператор р. Заметим, что изображение по Лапласу постоянной величины равно самой величине, деленной на оператор р. Например, если x (t) = А = const, то Х (р) = А / р. Действительно,.

При переходе от оригиналов к изображениям по этим правилам уравнение (2.5) в операторной форме примет вид или

В установившемся режиме работы производные дифференциальных уравнений равны нулю (/; = 0). Решение уравнения (2.8) в операторной форме имеет вид

Если перейти от полученного изображения выходной величины Y (j)) (2.9) к оригиналу y (t) с помощью обратного преобразования Лапласа

при x (t) = 1 = const (Х (р) = —), то получим уравнение (2.6). Отметим, что.

Р

для перехода от изображения к оригиналу наряду с обратным преобразованием Лапласа используют также специальные таблицы, приводимые в литературе по автоматике. Часто для перехода от изображения к оригиналу пользуются теоремой разложения. Как следует из формулы (2.9), изображение искомой выходной величины всегда есть дробь вида Обычно степень полинома F_{(p) числителя меньше степени полинома F₂(p) знаменателя. Теорема разложения для перехода от изображения Y (ji) к оригиналу y (t) записывается так:

Здесь п — количество корней p_k (полюсов) уравнения F₂(p) = 0, причем один из корней может быть равен нулю, но корни не должны быть кратными; F_x(p_fi) — значение функции F_x(p) при р = p_k F^(p_k) — значение производной функции F₂(p) при р = p_jr

В случае когда знаменатель Р₂(р) имеет кратные корни (р_{ кратности т 1, р₂ кратности т₂, кратности т_п), оригинал вычисляется по формуле.

Выражение в виде дроби, стоящее в знаменателе в квадратных скобках, надо сначала сократить на (р-р_к)^т и лишь после этого дифференцировать.

При оценке динамических свойств отдельных звеньев и систем используют передаточную функцию, получаемую в результате преобразования уравнения (2.9). Передаточная функция V (p) звена — это отношение изображения выходной величины У{р) звена к изображению входной величины Х (р) при нулевых начальных условиях. Для инерционного звена первого порядка передаточная функция имеет вид.

Знаменатель передаточной функции называют характеристическим полиномом. Если приравнять знаменатель нулю, то полученное уравнение называют характеристическим уравнением. Из уравнения (2.11) следует основное свойство направленного звена:

т.е. операторное изображение выходной величины звена равняется передаточной функции этого звена, умноженной на изображение входной величины.

Типовые входные воздействия. Динамический режим работы САР и ее элементов описывается динамическими характеристиками, отражающими связь между входной и выходной величинами, изменяющимися во времени. Так как входные воздействия по своему характеру могут быть различными, то и решения одного и того же дифференциального уравнения будут различными. Поэтому для сравнения динамических свойств различных звеньев необходимо рассматривать переходные процессы в них при нулевых начальных условиях и при одинаковых воздействиях. Существует достаточно много различных входных воздействий. Но даже самые сложные воздействия можно представить суммой некоторых простых типовых воздействий. Здесь мы рассмотрим три наиболее простых для реализации и математического описания типовых воздействия, широко применяемые при анализе динамики САР.

1. Единичное ступенчатое (скачкообразное) воздействие (рис. 2.3, а)

или единичный скачок напряжения с амплитудой, равной единице, — это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным. Такое единичное ступенчатое воздействие называют функцией Хевисайда. Математическое описание этой функции таково:

Изображение единичного скачка (единичной ступенчатой функции) выглядит так:

2. Единичное импульсное воздействие — воздействие в виде кратковременного импульса большой амплитуды. Такое воздействие называют дельтафункцией или функцией Дирака (рис. 2.3, б). Эта функция обозначается §(?) и определяется как производная по времени единичной ступенчатой функции:

Дельта-функция представляет собой математическую идеализацию предельного случая импульса очень большого значения и очень малой продолжительности, когда его длительность стремится к нулю, но площадь сохраняется равной единице. Если эту функцию трактовать как силу, действующую за промежуток времени от 0 до /г, а в остальное время равную нулю, то, очевидно, импульс этой силы будет равен единице при любом, но, конечно, очень малом значении h:

В механике бывает удобно рассматривать силы, действующие в течение очень короткого промежутка времени, как силы, действующие мгновенно, но имеющие конечный импульс. Площадь единичного импульса выражается формулой

Изображение функции 8(t) по Лапласу.

3. Гармоническое воздействие (рис. 2.3, в) описывается уравнениями.

где А — амплитуда гармонического синусоидального воздействия.

Рис. 23. Типовые входные воздействия.

Наиболее широкое применение находят ступенчатое и импульсное воздействия, поскольку они являются довольно тяжелыми воздействиями для любой системы. Плавные воздействия будут для системы легче. Поэтому ступенчатая функция представляет собой наиболее распространенный вид входного воздействия в САУ. К такому виду воздействия относятся возрастание момента на валу двигателя, мгновенное изменение задания на частоту вращения двигателя.

Рассмотрим, как определяется реакция элементов САР на приведенные выше типовые воздействия. Для этого в теории автоматического управления вводят понятия о переходной функции (.характеристике) и импульсной переходной (весовой) функции (характеристике).

Переходной функцией h (t) называют реакцию (отклик) звена САУ на единичный скачок входной величины (рис. 2.4). Функция h (t) описывает переходный процесс на выходе звена при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия x (t) = i (t). Таким образом, переходная функция h (t) численно равна выходному сигналу при единичном ступенчатом воздействии на входе. Переходная функция для инерционного звена первого порядка совпадает с решением дифференциального уравнения (2.5) при x (t) = 1 (t) (рис. 2.4, б):

Изображение единичной ступенчатой функции определяется как.

Чтобы определить изображение Н (р) переходной функции h (t) при известной передаточной функции звена W (p), необходимо выполнить следующую операцию:

Рис. 2.4. Единичная и переходная функции инерционного звена первого порядка.

Переходная функция наглядна и может быть определена экспериментально. Переходная функция имеет важное значение потому, что если определена функция h (t), то можно определить реакцию системы и при любой другой форме внешних воздействий.

Пример 2.1

Постройте в интегрированном пакете М ATLAB переходную характеристику типового линейного инерционного звена, используя его передаточную функцию.

Коэффициент усиления блока к = К), постоянная времени Т= 5 с.

Решение

Воспользуемся операционной средой библиотеки моделирования Simulink интегрированного пакета MATLAB. Для построения S-модели указанного звена используем блок Transfer Fen (Блок передаточной функции), который представляет собой модель линейного звена с заданной передаточной функцией в виде отношения полиномов заданной степени (рис. 2.5). Этот блок находится в разделе Continuous (Блоки непрерывных моделей) библиотеки Simulink.

Рис. 2.5. Моделирование переходной характеристики линейного инерционного звена

Окно задания параметров блока Transfer Fen приведено на рис. 2.6. В позиции Numerator (Числитель) задан коэффициент усиления k [10], а в позиции Denominator (Знаменатель) — коэффициенты матрицы-строки полинома знаменателя 5р + 1, которые задаются как [5 1 ]. В модели вместо оператора р, как это принято в MATLAB, используется символ s. После задания параметров передаточной функции вид ее выражения появляется внутри значка блока.

Рис. 2.6. Окно задания параметров блока Transfer Fen.

Генератор ступенчатого сигнала Step из раздела Sources (источники питания) имеет одиночный ступенчатый (скачкообразный) сигнал амплитудой (высотой ступеньки) 1 В. Такой сигнал называют единичным сигналом. Выдержка времени на срабатывание ступенчатого сигнала (начало ступеньки) для наглядности принято равным 1 с. Переходная характеристика исследуемого инерционного звена приведена на рис. 2.5. Как следует из рис. 2.5, при подаче единичного сигнала на вход инерционного звена выходной сигнал изменяется по экспоненциальному закону с постоянной времени, равной 5 с. Через 5 с значение сигнала становится равным 0,63& = 6,3 В.

Весовой функцией k (t), или импульсной переходной функцией, называют реакцию звена на единичную импульсную функцию. Единичная импульсная функция, или 8-функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции (2.13). Дельта-функция тождественно равна нулю во всех точках, кроме t = 0, где она стремится к бесконечности.

Поскольку внешнее единичное возмущение 1(C) и единичная импульсная функция 8(С) связаны равенством (2.13), то подобным же равенством связаны и их реакции на выходе системы, т. е.

Изображение функции веса определяется как.

Очевидно, что изображение функции веса, или импульсной переходной функции, совпадает с передаточной функцией звена САУ или всей САУ. Следовательно, для инерционного звена первого порядка.

Переходя от изображения весовой функции (2.23) к ее оригиналу, получим (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Дсльта-фуикция и функция веса (импульсная переходная функция).

Замечание 2.1.

Начальное значение функции веса в формуле (2.24) может быть получено следующим образом. При действии дельта-функции длительностью h инерционное звено с коэффициентом усиления k и постоянной времени 7'зарядится до напряжения.

Если длительность дельта-функции h стремится к нулю, то значение Л становится равным неопределенности вида «нуль, деленный на нуль». Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, взяв производные от числителя и знаменателя по h и устремив их к нулю. Тогда что совпадает с выражением для Л в формуле (2.24).

Пример 2.2

Постройте в интегрированном пакете MATLAB весовую характеристику линейного инерционного звена, используя его передаточную функцию.

Коэффициент усиления блока k = 10, постоянная времени Т = 5 с.

Решение

На рис. 2.8 показано моделирование весовой характеристики линейного звена при подаче на его вход импульсного единичного сигнала. Импульсный единичный сигнал формируется как разность двух ступенчатых сигналов источников Stepl и Step2, имеющих смещение ступенек во времени. Ступеньки смещены по времени на 0,05 с (рис. 2.9). Амплитуда импульса у обоих источников — 20 В. Таким образом, площадь импульса равна единице (20 • 0,05 = 1).

Рис. 2.8. Моделирование весовой характеристики линейного инерционного звена.

Теоретическая весовая характеристика при подаче на вход инерционного звена дельта-функции с длительностью импульса, стремящейся к нулю, должна изменяться по закону Как следует из рис. 2.8, весовая функция с большой точностью совпадает с аналитическим выражением (2.24).

а б.

Рис. 2.9. Окна задания параметров блоков Stepl (а) и Step2 (б)

Если же длительность единичного импульса будет увеличиваться, а амплитуда будет соответственно уменьшаться, то реальная весовая функция будет отличаться от идеальной. На рис. 2.10 приведена весовая функция инерционного звена с указанными выше параметрами при длительности импульса 1 с и амплитуде импульса 1 В. Как следует из рис. 2.10, максимальное значение функции отличается от расчетного и составляет нс 2 В, а 1,8 В.

Рис. 2.10. Весовая функция инерционного звена при длительности единичного импульса 1 с и амплитуде импульса 1 В

Погрешность определения максимального значения весовой функции в процентах при различных параметрах единичной функции приведена в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Погрешности определения максимального значения весовой функции при различных параметрах единичной функции

Замечание 2.2.

Достоинством метода математического моделирования является возможность сконструировать любую требуемую входную функцию и, зная функцию звена, на вход которого подается эта функция, получить отклик звена на действие этой функции. Подтверждением этого является рис. 2.11.

Входная функция может иметь вид прямой линии, квадратичной зависимости, трапеции (рис. 2.11), треугольника или любой другой вид, который задается с помощью конструктора сигнала Signal Builder. В частности, на вход звена или модели, составленной из отдельных звеньев, для анализа ее поведения при случайных воздействиях могут быть поданы воздействия от источника случайных сигналов: Random Number с нормальным или Uniform Random Number с равномерным распределением.

Рис. 2.11. Весовая функция инерционного звена при подаче на его вход трапецеидального сигнала.