Номинальная и эффективная нормированные ставки

Номинальная ставка. Выше мы описали основные модели накопительного счета (вклада) в схеме сложных процентов. Основным параметром этой модели служит ставка начисления i_h за период начисления h.

На практике в случае накопительных счетов, как и для кредитных сделок, часто используют не ставки начисления, а так называемые номинальные ставки, относящиеся к некоторым заранее выбранным периодам. Период, к которому относится номинальная ставка, называется номинальным, он непосредственно не связан с периодом начисления и может выбираться произвольным образом. Цель введения номинального периода состоит в осуществлении единообразного способа задания ставок, определяющих динамику накопительных счетов. Кроме того, номинальный период играет роль периода приведения, к которому приводятся значения ставок начисления. Это позволяет сравнивать такие ставки. Хотя номинальный период может быть выбран произвольно, на практике он обычно выбирается естественным образом, связанным с используемой временной шкалой. Чаще всего номинальный период представляет собой просто единичный (базовый) период временной шкалы. Так, если шкала годовая, то номинальный период равен году и все номинальные ставки — годовые. Приведение ставок начисления к единичному периоду временной шкалы принято называть нормированием, а соответствующее значение ставки — нормированным.

Таким образом, нормированные номинальные ставки в накопительных схемах сложных процентов вполне аналогичны нормированным ставкам простых кредитных сделок и нормированным ставкам начисления в схеме простых процентов. Во всех случаях идея состоит в приведении (нормировании) ставок, непосредственно связанных с различными периодами, к некоторым стандартным (условным) периодам.

Поскольку роль номинальной ставки состоит в стандартизированном представлении ставок начисления, то ее задание предполагает, кроме указания номинального периода и значения самой ставки, задание дополнительной информации, позволяющей легко определить соответствующий период начисления, а также правило для определения значения ставки начисления.

В качестве дополнительной информации, устанавливающей связь между номинальной ставкой и ставкой начисления, указывают либо непосредственно период начисления, либо так называемую кратность начисления. Кратность начисления равна отношению номинального периода к периоду начисления. Она, таким образом, показывает число раз, которое период начисления содержится в номинальном периоде.

Иногда понятие номинальной ставки вводят несколько иначе, основываясь на так называемой кратной выплате процентов. Этот подход можно пояснить следующим образом.

В соответствии с описанной выше моделью накопительного счета проценты за период начисления присоединяются к сумме счета в конце периода начисления. Как отмечалось в гл. 2, это лишь один из способов так называемой актуализации, т. е. преобразования интервальной величины, какой являются проценты за период, в мгновенную величину. В принципе имеется бесконечное число способов такого преобразования или, применительно к нашему случаю, выплаты процентов: в начале, середине периода и т. п. Здесь нас будет интересовать один весьма распространенный способ, при котором проценты за период начисления выплачиваются несколько раз за этот период одинаковыми суммами. Па самом деле, в накопительных моделях проценты не выплачиваются, а присоединяются к счету, т. е. сумма счета увеличивается. Эту операцию мы назвали начислением. Термин «выплачиваются» понадобился для того, чтобы избежать коллизии понятий исходного начисления один раз в конце (исходного) периода начисления и нового (многократного) начисления в течение этого периода.

Примерами такой схемы могут служить выплаты начисленных за год процентов дважды в конце каждого полугодия, четырежды в конце каждого квартала или 12 раз в конце каждого месяца. Легко понять, что при таком подходе исходный период начисления перестает быть фактическим периодом начисления, а фактическими периодами начисления становятся подпериоды, составляющие исходный период, поскольку в конце именно этих подпериодов осуществляется фактическое начисление, т. е. присоединение соответствующих этим подпериодам долей общей суммы начисленных за исходный период процентов.

В общем виде упомянутую выше схему можно представить следующим образом. Исходный период начисления.

h разбивается на т одинаковых подпериодов, и сумма J_h процентов за этот период «выплачивается» т раз в конце каждого иодпериода. Величина каждой такой «выплаты» будет равна.

так, что общая сумма выплаченных за исходный период начисления процентов будет той же самой — J_h. Поскольку при такой схеме исходный период начисления фактически им больше не является, мы будем называть его поминальным периодом и обозначать Ь. Фактическим периодом начисления будет период Ь/т и именно его мы теперь будем обозначать через h

Целое число т, т. е. число фактических начислений за исходный номинальный период, будем называть кратностью начисления.

Переход к другому, более мелкому периоду начисления означает фактически изменение и ставки начисления. Если для исходного (номинального) периода b соответствующая ставка будет равнаi_h, то из равенства (8.19) следует, что.

Иными словами, ставка за фактический период начисления в т раз меньше ставки за номинальный период.

Хотя описанный выше подход может служить «мотивацией» для введения номинальных ставок, он не является вполне строгим, так как начисление по ставке i_h не будет давать одинаковых процентных сумм.

для всех подпериодов исходного номинального периода. На самом деле в основе этого подхода заложено выполнение равенства (8.21), а не равенства (8.19).

На практике, как отмечалось выше, номинальный период совпадает с единичным промежутком временной шкалы. Обычно в качестве такого периода берется год. Тогда говорят о номинальной годовой ставке j, подразумевая явное указание либо периода, либо кратности начисления. В случае, когда номинальный и единичный периоды временной шкалы совпадают, имеем, что.

и.

и данная номинальная ставка, согласно сказанному выше, будет являться нормированной.

Чтобы не путать различные виды ставок, мы будем использовать специальные индексные обозначения. Значение номинальной ставки с периодом начисления h мы будем, отступая от обозначения у, обозначать как i^_hy а ее значение с указанием кратности начисления т — в виде iМ. Однако в дальнейшем мы также будем иногда использовать обозначение j для указания значения именно номинальной ставки. С другой стороны, обозначение i (без индексов) будет всегда означать нормированную ставку начисления, т. е. ставку с единичным периодом начисления. В любом случае в определении номинальной ставки должно явно или неявно содержаться указание на период или кратность начисления. Так, говорят, например, о 10%-ной годовой ставке, начисляемой дважды в год, или о 10%-ной годовой ставке с начислением по полугодиям.

Использование скобок служит для того, чтобы отличать номинальную ставку от ставки начисления, которую мы обозначаем как i_h.

Итак, нормированная номинальная ставка, относящаяся к единичному периоду временной шкалы, задается двояко:

а) указанием самого периода начисления /г, выраженного в единицах базового периода, и тогда ставка начисления определяется как

б) указанием кратности начисления т за базовый период; в этом случае период начисления определяется по формуле.

а ставка начисления.

Если h = 1 и, значит, т = 1, то период начисления совпадает с единичным периодом временной шкалы. В этом случае номинальная нормированная ставка превращается в нормированную ставку начисления:

Как отмечалось выше, в этом случае мы пишем просто i. Поскольку ставка начисления i_h непосредственно выражается через номинальную ставку числовое значение которой мы обозначим здесь как у, то можно переписать уравнения динамики накопительного счета в терминах номинальной ставки, подставляя выражения для ставки начисления.

в уравнения (8.8). Тогда для моментов начисления t_n =t₀+nh получим.

и поскольку то имеем.

Заметим, что выражение.

есть не что иное, как множитель наращения или коэффициент роста за единичный (базовый) период времени при ш-кратном начислении по номинальной ставке], соответствующей ставке начисления i,_r Следовательно,

Индекс п в вышеприведенных формулах обычно опускают и пишут просто.

т.е. момент времени t должен быть в этом случае моментом начисления и промежуток t-t₀ должен содержать целое число.

периодов начисления. Напомним, что в формулах (8.26), (8.28)—(8.30) j обозначает номинальную ставку.

Пример 4. Найти накопленное значение суммы в 300 руб. за 4 года, если:

• а) номинальная годовая ставка равна 10%, а период начисления — полгода;
• б) номинальная годовая ставка — 8%, период начисления — раз в 2 года.

Решение.

а) В этом случае для годовой шкалы при t₀ = 4 и t = 4 имеем, что.

и ставка начисления за полгода равна.

а число полугодий составляет Следовательно,

б) В данном случае.

и двухгодичная ставка начисления /₂ равна

Следовательно,.

Очень важно понимать, что нормированная номинальная процентная ставка относится к единичному (базовому) промежутку временной шкалы, на практике это обычно годовая ставка, тогда как ставка начисления — это ставка за период начисления.

Полученные нами выражения для динамики накопительного счета, записываемые в терминах номинальных ставок и iM, естественным образом можно продолжить на случай непрерывной модели. В дальнейшем мы ограничимся формулировкой результатов для этой модели лишь в терминах номинальной ставки i (^m) с m-кратным начислением, имея при этом в виду, что запись аналогичных формул в терминах номинальной ставки получается тривиальным образом заменой i^m) на и 1/т на h. Тогда для непрерывной модели для произвольного начального момента времени ?₀ >0 получаем очевидное обобщение формулы (8.30):

Непрерывное начисление и бесконечно-кратные номинальные ставки. Явное разделение номинальной величины ставки с выделением ее числового значения и кратности (частоты) начисления позволяет раздельно исследовать эффект этих факторов для данного инвестиционного периода. В самом деле, рассмотрим период, состоящий из п базовых промежутков, например при Г₀=0 и t = n. Тогда для семейства номинальных ставок г’М с различной кратностью начисления, но с общим значением z’M = j накопленная сумма за п периодов для начальной суммы согласно выражению (8.30) может быть представлена в виде.

Из анализа известно, что при т₂ > т_Л

или в терминах множителей наращения.

т.е. большей частоте начисления соответствует больший множитель а^т) и тем самым — большая сумма накопления.

Поскольку период начисления, соответствующий номинальной ставке г’М, равен h=/m; то при т->ю получаем h—>0. Поэтому в предельном случае при т—«оо мы приходим к непрерывному начислению процентов и для коэффициента роста получаем.

Следовательно, при непрерывном начислении процентов по номинальной ставке j накопленная за п периодов сумма будет равна

Отметим, что во всех приведенных выше формулах числа т и п предполагались, вообще говоря, целыми неотрицательными числами. Ниже мы рассмотрим обобщения этих формул, однако уже здесь можно отметить особенность формулы (8.33). При непрерывном начислении естественным образом исчезает проблема соизмеримости периода начисления и базового периода. Поэтому при непрерывном начислении формулу (8.33) можно использовать для любых периодов. Так, для периода длины Т накопленная сумма будет выражаться формулой

а соответствующий коэффициент роста примет вид Конечно, на практике непрерывное или бесконечнократное начисление непосредственно реализовать нельзя, но оно легко реализуется схемой накопления, при которой инвестору, открывшему счет на сумму S_t =S₀ в момент времени t₀, приписывается (начисляется) в любой момент времени t сумма S_t, определяемая выражением.

При этом проценты, начисленные инвестору за период [?₀, ?], составят сумму.

Вернемся теперь к дискретным схемам начисления (с конечной кратностью).

Эффективные ставки. Прежде всего, напомним, что величина.

представляет собой коэффициент роста инвестированной суммы S₀ за единичный период по ставке начисления i_h, соответствующей номинальной ставке гН с m-кратным начислением:

Но тогда величина.

будет процентной ставкой за единичный (базовый) период временной шкалы. Эта ставка называется нормированной эффективной ставкой (за единичный период), соответствующей ставкам начисления i_h и номинальной /М. Заметим, что эффективная ставка является, как и номинальная, еще одним нормированным (т.е. приведенным к единичному периоду) представлением ставки начисления i_h.

Эффективную нормированную ставку, соответствующую ставкам начисления i_h и номинальной /М, мы будем обозначать как /Л или i^ или же i_9ф, если понятно, какой период начисления рассматривается, либо, наконец, просто г, если h = 1. Таким образом,.

Отметим еще особый случай, когда h = m = 1, т. е. период начисления совпадает с единичным периодом временной шкалы. Тогда все три типа ставок совпадают:

и можно говорить просто о нормированной ставке, которая воплощает в себе все три типа ставок, и не использовать в обозначении никаких дополнительных индексов, символов и меток.

Пример 5. Найти годовую эффективную ставку, соответствующую 10%-ной годовой номинальной ставке, начисляемой дважды в год.

Решение. В данном случае г'(²) = 10%. Тогда или 10,25%.

Заметим теперь, что если рассмотреть семейство номинальных ставок /М с различной кратностью начисления, но с общим значением i (^m) = j, то.

Отсюда, полагая и переходя в выражении (8.38) к пределу при /и—>оо, получим эффективную ставку, соответствующую бесконечно-кратной (непрерывно начисляемой) номинальной ставке у:

Ясно, что со ставкой j = i (°°) не связан никакой период начисления. Ставки j и связаны непосредственно лишь с единичным периодом временной шкалы, к которому они относятся.

Пример 6. Пусть j = 10% есть номинальная годовая ставка, начисляемая непрерывно. Какова соответствующая (нормированная) эффективная годовая ставка?

Решение. При данных условиях.

г. е.

Знание эффективной (нормированной) ставки позволяет переписать выражение для накопленных сумм в виде

Эта формула имеет совершенно естественный смысл. Поскольку коэффициент.

есть коэффициент роста за единичный базовый период, то коэффициент (1 + г_эф) есть коэффициент роста за п единичных (базовых) периодов, что соответствует общей логике сложных процентов. Иными словами, мы возвращаемся к простейшей формуле (8.1) с той лишь разницей, что теперь в качестве ставки начисления / берется эффективная ставка за период. Конечно, если h = т = 1, т. е. период начисления и базовый период совпадают, то также совпадают номинальная и эффективная ставки за периоды. В общем же случае можно применить простейшую формулу (8.1), вычислив предварительно эффективную ставку по заданным параметрам номинальной ставки.

Для непрерывной модели накопительного счета, определяемой произвольным периодом начисления h и ставкой начисления i_h за этот период, эффективная нормированная ставка определяется из равенства.

а уравнение динамики представляется в виде Заметим, что по этому определению число m = /h может быть нецелым. Однако мы и в этом случае будем называть эту величину, обратную периоду начисления, кратностью (частотой) начисления и по-прежнему будем формулировать результаты в терминах номинальной ставки

Пример 7. Пусть в годовой шкале задана ставка /₂ = 20% с двухгодичным периодом начисления h = 2. Найти годовые номинальную и эффективные ставки, соответствующие этой ставке. Решение. В данном случае т = ½. Тогда номинальная годовая ставка будет равна

а эффективная годовая ставка.

или 9,54%.

Хотя номинальная и эффективная ставки являются нормированными представлениями ставки начисления, их финансовые интерпретации существенно различаются. Так, номинальная нормированная ставка не является фактической ставкой за номинальный базовый период (период приведения), тогда как эффективная нормированная ставка является фактической ставкой за период приведения в непрерывной модели накопительного счета. Говоря о том, что эффективная ставка является фактической ставкой за период приведения, мы имеем в виду, что коэффициент роста счета за этот период в точности равен 1 + 4ф*.

Сформулируем итоги анализа, выполненного для основной непрерывной модели накопительного счета в схеме сложных процентов, для общего случая, когда в качестве начального момента рассматривается произвольный момент времени t₀> а начальная сумма счета в этот момент равна S, =5₀. При этом заметим, что распространение результатов, полученных для ?₀=0, на случай t₀ То вполне очевидно и фактически не нуждается в дополнительном обосновании.

Непрерывная модель процентного роста задается одним из следующих четырех видов процентных ставок:

• — ставкой начисления i_h за период начисления h, при этом соответствующая динамика описывается уравнением (8.18);
• — нормированной номинальной ставкой г‘М с кратностью начисления т с динамикой, описываемой уравнением (8.31);
• — непрерывной (бесконечно-кратной) номинальной ставкой j = Д⁰⁰) с уравнением динамики (8.36);
• — нормированной эффективной ставкой i с уравнением динамики (8.41).

Следует заметить, что способ задания модели с помощью нормированной эффективной ставки является на самом деле частным случаем задания с помощью ставки начисления i_h, если период начисления совпадает с базовым (единичным) периодом времени. Как уже отмечалось выше, индекс в обозначении i_x часто опускают и пишут просто i.

Мы указали этот случай отдельно, так как для него закон динамики имеет наиболее простой вид и именно поэтому он часто используется в теории финансов.

Заметим также, что с помощью нормированного коэффициента роста динамику накопительного счета в каждом из этих случаев можно записать в унифицированном виде.

где а — нормированный коэффициент роста в модели, при этом:

для модели с заданной ставкой начисления i_h

для модели, задаваемой номинальной ставкой i (^m) с /и-кратным начислением,.

для модели с непрерывным (бесконечно-кратным) начислением.

Кроме того, отметим, что в каждой из этих моделей нормированный коэффициент роста связан с соответствующей эффективной нормированной ставкой основным соотношением.

Пример 8. Пусть в годовой шкале заданы ставки г₃ =72,8%; г (⁴) = 40% и j = г (°°) = 20%. Найти соответствующие этим ставкам нормированные коэффициенты роста в непрерывной модели накопительного счета и будущую (накопленную) стоимость. Решение.

а) Для i₃ =72,8%, h = 3 года и коэффициент роста имеет вид и, следовательно,

б) Для т = 4 имеем.

и, следовательно,.

в) j = j («) = 20% имеем и, следовательно,

В тех случаях, когда выбор конкретного вида ставки безразличен, мы будем говорить просто о ставке накопления, подразумевая под этим любую из четырех упомянутых выше. Выписанные уравнения динамики позволяют легко находить соотношения между различными видами ставок. Они определяются условием тождественности результата накопления для любого момента времени. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже, в параграфе, посвященном эквивалентности процентных ставок.