Закон Био —Савара —Лапласа

Напряженность магнитного поля, созданного проводником с током в любой точке пространства определяется законом Био — Савара —Лапласа.

где г — расстояние от элемента тока Idl дсггочки, в которой находится напряженность; а — угол между векторами / и г. Последнее выражение дает возможность определить напряженность магнитного поля в некоторой точке пространства только в том случае, если оно создано элементом тока Idl. Если же необходимо рассчитать, например, магнитную индукцию, созданную участком проводника от точки 1_Х до точки /₂, то придется выполнить следующее математическое действие.

Пропустив некоторые математические выкладки, приведем несколько готовых формул, полученных из закона Био — Савара — Лапласа, для определения напряженности магнитного поля, созданного некоторыми проводниками.

• Магнитное поле в центре кругового витка с током определяется следующим образом.

где R — радиус витка.

• Магнитное ноле в любой точке на оси кругового витка с током.

где а — расстояние от центра витка до точки на его оси.

• Магнитное поле на оси соленоида.

где п = N/1 — плотность намотки, т. е. число витков Nua. единицу длины соленоида /.

• Магнитное поле на оси тороида.

где R, r— внешний и внутренний радиусы тороида соответственно.

• Магнитное ноле прямолинейного проводника с током.

где а — кратчайшее расстояние от точки измерения напряженности до проводника; а, и а., — углы, под которыми из точки наблюдения видны концы проводника.

• Магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника.

• Магнитное поле на оси прямоугольного контура с током.

где а и b — линейные размеры контура.

Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля. Мы уже говорили об этой теореме применительно к потоку вектора напряженности электрического поля (6.4). Теперь рассмотрим поток магнитной индукции (магнитный поток).

Магнитный поток через любую поверхность S есть.

Если говорить о замкнутой повеохности S, то магнитный поток.

С использованием введенных понятий теорема Остроградского — Гаусса для магнитного тока выглядит так.

т.е. магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю. Это означает, что:

• 1) нс существует в природе «магнитных зарядов», подобных электрическим (это следует из сравнения теорем в форме (6.19) и (6.4). В последней сумма электрических зарядов отлична от нуля, сумма же «магнитных зарядов» из (6.19) равна нулю, следовательно, их не существует);
• 2) магнитное иоле имеет вихревой характер (поскольку линии напряженности электрического поля начинаются на электрических «плюсах» и заканчиваются на «минусах», магнитный поток должен вести себя аналогично: начинаться на «магнитных плюсах», заканчиваться на «магнитных минусах», но последних не существует, значит, линии магнитной индукции замкнуты сами на себя, т. е. имеют вихревой характер).

Пример решения задачи.

Дано: металлический проводник с током / изогнут под прямым углом (рис. 6.35). Найти напряженность магнитного поля Н в точке С, лежащей на биссектрисе этого угла на расстоянии а от угла.

Выразим г и dl через угол а.

Рис. 6.35. Иллюстрация к задаче

Решение. Результирующая напряженность магнитного ноля в точке С равна векторной сумме напряженностей, созданных двумя линейными отрезками. Определим направления этих напряженностей. Поскольку оба вектора направлены в одну сторону, то их векторная сумма равна сумме скалярной: Н = Я, + Н₂. По закону Био — Савара — Лапласа.

а а.

где х = ——, г = ——-.

v2 v2sinoc.

Теперь можно преобразовать интеграл.

Последнее выражение подставим в (1).

Окончательно.

Магнитный момент контура с током равен.

где S — площадь контура; п — единичный вектор нормали к плоскости контура; направление р_т определяют по правилу буравчика.

Вращающий момент, который действует на контур с током в магнитном поле, равен.

где р_т = IS — магнитный момент_коитура; В — индукция магнитного поля; а — угол между векторами р_т и В.

Закон полного тока (теорема о циркуляции напряженности магнитного поля): циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру ((^Hf dl) равна сумме токов (полному току) внутри этого контура.

где Я, — проекция вектора Я на касательную в данной точке контура; ей — элемент контура в окрестности этой точки.