Преобразование и эквивалентность платежей в схеме сложных процентов

В предыдущем параграфе, посвященном моделям с переменным капиталом в схеме сложных процентов, мы ввели понятия будущей FV_t (CF) и текущей PV_t (CF) стоимости денежного потока CF. В этом параграфе мы подробно рассмотрим эти понятия в несколько более общем контексте. В частности, мы рассмотрим операции нахождения будущей и текущей стоимости произвольного потока платежей безотносительно к состояниям счетов, порождающихся этими потоками. Мы рассмотрим эти операции как некоторые действия непосредственно над самими потоками. Более точно мы будем трактовать их как преобразования (замену) потоков единичными событиями или как приведение потоков к фиксированному моменту времени (полюсу). Затем на основе введенных таким образом операторов приведения мы сформулируем понятие эквивалентности финансовых потоков.

Приведение потоков. Вернемся снова к определению текущей стоимости произвольного потока платежей в схеме сложных процентов.

Определение 3. Пусть.

— поток платежей. Тогда текущей (приведенной) стоимостью потока в момент р относительно нормированной ставки i в схеме сложных процентов называется величина.

где.

— нормированный дисконтный множитель.

Момент времени р, относительно которого находится текущая стоимость, называется моментом приведения (полюсом или фокальной датой). Ставка i, с помощью которой осуществляется приведение (дисконтирование) платежей потока, часто опускается в обозначении текущей стоимости. Так, пишут просто PV_p(CF), считая ставку i неявно заданной.

Данное определение является общим в том смысле, что применяется для любых значений момента приведения р независимо от его положения относительно моментов платежей потока. В частности, если.

т.е. момент приведения следует за всеми платежами потока, то текущая стоимость будет совпадать с будущей (накопленной) стоимостью потока.

Если же момент времени р предшествует всем платежам потока, го текущая стоимость совпадает с традиционным пониманием текущего (приведенного к настоящему моменту) значения платежей.

Пример 1. Пусть.

Решение.

Таким образом,.

Таким образом,

Замечание. Здесь и ниже в данной главе мы не будем указывать в примерах денежные единицы соответствующих сумм платежей в потоках.

Согласно определению текущей стоимости потока она равна сумме текущих стоимостей платежей, составляющих поток. Смысл нахождения текущей стоимости состоит в приведении всех платежей к одному и тому же моменту времени (полюсу, фокальной дате) и сложению полученных приведенных значений. Такое приведение необходимо, поскольку складывать денежные суммы, относящиеся к различным моментам времени, некорректно. Приведение сумм фактически означает замену их эквивалентными значениями, относящимися к заданному моменту приведения. Таким образом, суммирование этих эквивалентных значений для платежей потока дает в некотором смысле эквивалентное (с финансово-экономической точки зрения) представление всего потока в виде отдельной суммы или, точнее, отдельного финансового события.

Замена целого потока на отдельную сумму (событие) во многих случаях существенно упрощает финансовый анализ и позволяет, как мы неоднократно увидим в дальнейшем, легко решать многие задачи по определению характеристик денежных потоков.

Тот факт, что текущая стоимость потока определяется как сумма текущих стоимостей отдельных платежей потока, приводит к следующим очевидным, но весьма полезным свойствам линейности текущей стоимости.

Аддитивность'.

т.е. текущая стоимость суммы двух потоков равна сумме их текущих стоимостей.

Однородность'.

т.е. текущая стоимость потока, полученного из данного умножением всех его платежей на число А, есть произведение текущей стоимости исходного потока на это число.

Пример 2. Пусть

Найти PV₂(2CF_{ -3CF₂) для i = 50%.

Решение. Очевидно, что.

Следовательно,.

Если i = 50% и t = 2, то.

и, следовательно,.

Введем еще одну важную операцию — временной сдвиг потока. Начнем с простейшего случая, когда поток состоит из одного платежа, т. е. сводится к одному событию.

Определение 4. Сдвигом события (t, С) по времени на шаг Тназовем событие (t + T, С).

Временная диаграмма этой операции изображена на рис. 9.2.

Рис. 9.2.

Оператор сдвига будем обозначать выражением так что определение сдвига можно переписать в виде

Заметим, что сдвиг может быть как положительным (Т > 0), действующим в направлении временной шкалы, так и отрицательным (Т < 0), действующим в противоположном направлении.

Определение 5. Сдвигом финансового потока называется поток, получаемый сдвигом по времени всех платежей исходного потока на один и тот же шаг Г, что в операторном виде записывается как.

Докажем теперь следующую простую лемму о сдвиге события.

Лемма 1. Пусть (t, С) — некоторое событие. Тогда текущая стоимость сдвинутого события (t + T_y С) относительно любого момента т равна произведению текущей стоимости исходного события на число X = v^T, называемое мультипликатором сдвига, т. е.

Доказательство. В самом деле,.

Эта лемма в силу линейности текущей стоимости легко переносится па поток событий.

Лемма 2 (о текущей стоимости сдвинутого потока). Пусть CF — дискретный поток платежей. Тогда текущая стоимость сдвинутого на шаг Т потока L_T(CF) относительно момента т есть произведение текущей стоимости исходного потока и мультипликатора сдвига v^T.

Пример 3. Пусть.

Найти текущую относительно т = 0 стоимость потока при ставке i = 10%.

Решение. Можно, конечно, найти текущую стоимость этого потока непосредственно, но определению. Замечая, однако, что данный поток есть сдвиг на Т = 20 потока.

и вычисляя для последнего его текущую стоимость

получим.

Выше мы определили понятие сдвига денежного потока и нашли правило преобразования текущей стоимости при сдвиге потока относительно данного момента приведения т. Сдвиг потока не меняет момент приведения, но изменяет взаимное расположение моментов платежей потока и момента приведения. Такого изменения взаимного расположения можно добиться, оставляя неизменным поток, но сдвигая при этом момент приведения т.

Лемма 3. Пусть (t, С) — финансовое событие их— момент приведения. Тогда для любого Т

Доказательство. Соотношение (9.16) вытекает из следующей цепочки равенств:

Таким образом, мультипликаторы сдвига события и момента приведения взаимно обратны.

Эта лемма тривиальным образом распространяется на потоки.

Лемма 4. Пусть CF — дискретный денежный поток, т — момент приведения и Т — параметр сдвига. Тогда.

Лемму о сдвиге момента приведения можно сформулировать несколько иначе, как связь между текущими стоимостями потока относительно двух различных моментов приведения.

Теорема. Пусть CF — произвольный дискретный поток. Тогда для любых двух моментов приведения и т₂ справедливо соотношение.

Доказательство теоремы получаем тривиальным образом из леммы 4, полагая т₂ =х_х + Т.

Теорема 1 чрезвычайно полезна в практических вычислениях. Она означает, что для вычисления текущих стоимостей потока в разных точках достаточно вычислить это значение в какой-либо одной точке, тогда значения во всех остальных точках будут получаться простым домножением полученного значения на подходящую степень дисконтного множителя.

Пример 4. Рассмотрим поток CFследующего вида:

Для процентной ставки i = 20% (за период) найти текущие стоимости PV₀(CF) иPV₄(CF).

Решение. Найдем сначала приведенное значение потока в точке t = 4:

Согласно теореме 1 для нахождения текущей стоимости потока в точке 0 нет необходимости пересчитывать текущие стоимости платежей потока, достаточно текущее значение в точке t = 4 умножить на мультипликатор сдвига.

Таким образом (с точностью до двух знаков после занятой),.

Эквивалентность потоков платежей. В нашем изложении теории процентной ставки мы постоянно подчеркивали два взаимосвязанных аспекта. Первый из них касается всевозможных преобразований событий и составленных из них потоков. Так, операторы будущей и текущей стоимостей позволяли преобразовывать события (суммы) и потоки событий (платежей). Формально это означает сопоставление некоторому событию, т. е. сумме, относящейся к некоторому моменту времени, некоторого другого события, сумма которого относится к другому моменту времени. Внешне это преобразование выглядит как перенос (сдвиг) события от одного момента времени к другому с изменением, вообще говоря, денежной суммы этого события. При этом преобразованное событие считается эквивалентным в финансово-экономическом смысле исходному событию. Эта эквивалентность понимается как равноценность денежных сумм, участвующих в преобразовании событий, при определенных внешних условиях, в которых главным фактором является фиксированная процентная ставка. Процентная ставка однозначным образом определяет механизм преобразования событий (сумм) и тем самым их эквивалентность. Таким образом, преобразование событий определяет второй аспект, связанный с понятием эквивалентности событий или денежных (датированных) сумм.

Напомним данное в гл. 7 определение эквивалентности событий в схеме сложных процентов. События считаются эквивалентными (относительно заданной процентной ставки), если одно из них можно преобразовать в другое с помощью операции приведения. Формально это означает следующее.

События [t_v Cj) и (t₂, С₂) называются эквивалентными (в схеме сложных процентов) и обозначаются как.

если.

или в развернутом виде.

Точно так же приведение потока к некоторому моменту т, г. е. вычисление его текущего значения относительно момента т означает, но существу замену потока платежей эквивалентной ему единственной суммой, а точнее эквивалентным событием. Таки м о б р, а з о м, с финансово-экономической точки зрения в рамках заданных условий (известной процентной ставкой) поток и его текущая стоимость эквивалентны. Перенесем теперь определение эквивалентности событий, а также потока и его приведенного значения на произвольную пару потоков.

Определение 6. Два дискретных финансовых потока CF_X и CF₂ называются эквивалентными относительно процентной ставки i и момента приведения р, если их текущие стоимости относительно этого момента совпадают, что формально записывается как.

В этом определении эквивалентность потоков зависит от выбора момента приведения. Можно показать, что на самом деле ее выбор безразличен, т. е. потоки, эквивалентные относительно одной точки, будут эквивалентны относительно любой другой. Этот факт сформулируем в виде следующего утверждения.

Лемма 5. Пусть CF_X и CF₂ — потоки платежей, a i — процентная ставка. Тогда для любых р_х, р₂

т.е. эквивалентность потоков относительно одной из точек равносильна их эквивалентности относительно другой.

Таким образом, мы можем говорить просто об эквивалентности потоков, не упоминая никаких моментов времени. Ранее в гл. 7 мы доказали этот факт для событий.

Пример 5. Показать, что потоки и.

эквивалентны относительно ставки i = 20%.

Решение. Выберем в качестве момента приведения т = 1 Тогда.

аналогично.

Итак,.

что означает эквивалентность потоков относительно точки т = 1, а следовательно, относительно и любой другой точки, т. е. эти потоки эквивалентны.