Геометрическое определение вероятности

Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности. Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.

Геометрической вероятностью события, А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области:

Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

ПРИМЕР 15. Предположим, что на отрезок длиной L действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим? Какова вероятность того, что она отклонится не дальше чем на расстояние / от середины указанного отрезка (см. рис.)?

РЕШЕНИЕ. Здесь имеется бесконечное множество возможных исходов: ведь точка Сможет попасть в любую точку рассматриваемого отрезка длиной L. Кроме того, условия опыта таковы, что? с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке х этого отрезка, расположенного на оси абсцисс. Событие А : точка? находится от середины отрезка на расстоянии не больше /, наступает в результате попадания в любую точку х, отстающую от середины нс далее, чем на величину /. «Доля» таких точек х на всем отрезке может быть определена как отношение L (A) / L, где L — длина всего рассматриваемого отрезка. L (A) -21 — длина отрезка, попадание в который влечет за собой наступление события А. Таким образом, искомая вероятность Р (А) равна:

ПРИМЕР 16. Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1, 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

РЕШЕНИЕ. Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [-1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [-1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате (см. рис.). Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная, расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой = —х (см. рис.).

Таким образом, интересующая нас вероятность равна отношению площади фигуры (заштрихована) к площади квадрата:

ПРИМЕР 17. Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа х и у. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:

РЕШЕНИЕ. Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2] пары чисел х и у. Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки М (х, у) из множества всех точек квадрата со стороной, равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие неравенству (I), которое для простоты представим эквивалентной системой:

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точ ка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая веро ятность равна: