Геометрические характеристики сечений

Это вспомогательный материал, но то, что мы рассмотрим в этом параграфе, потребуется для решения практических задач в деформациях кручения и изгиба, а также при расчетах на устойчивость. Не пытайтесь дать физические ассоциации рассматриваемым характеристикам. Невозможно представить геометрическую характеристику плоского сечения с кубической размерностью или размерностью в 4-й степени. Воспринимайте это как математическую абстракцию, необходимую нам для решения практических задач.

Sx = у* dA = А*yс ;

называется статическим моментом площади сечения относительно оси х.

Sy =х* dA = A*хс ;

называется статическим моментом площади сечения относительно оси у.

Эти моменты позволяют определить координаты центра тяжести составного сечения.

хс = Sy/А; yс = Sx/А.

Jx = y2*dA ;

называется осевым моментом инерции площади сечения относительно оси х.

Аналогично Jy = х²*dA — относительно оси у.

Jр = с²*dA — называется полярным моментом инерции площади сечения.

На рис. 1.12 показано произвольное сечение, в котором выделена маленькая площадь dA.

Запишем Jр = с²*dA = (х² + y²)*dA = Jу + Jx.

Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции.

Рассмотрим несколько простых сечений.

Круглое сечение (рис. 1.13, а).

Jрo = с2*dA =.

с²* 2*р*с*dс = р*r⁴/2 =р*d⁴/32? 0,1 d⁴

Jx_o = Jу_o = Jр_o/2 = 0,05 d⁴

Прямоугольное сечение (рис. 1.13, б).

Jx? = y2*dA = y2*b*dy = b*h3/12; Jy? = h* b3/12.

Составное сечение (рис. 1.13, в).

Момент инерции составного сечения относительно выбранной оси равен сумме моментов инерции отдельных элементов сечения относительно собственных центральных осей, плюс сумма произведений площадей элементов на квадраты расстояний от выбранной оси до собственных осей элементов.

Для сечения (рис. 1.13, в) получим

Jx? = Jx + Jx1 + Jx2 + А1*(Н/2 + h½)2 + А2*(Н/2 + h2/2)2 =

= В*Н3/12 + b1*h13/12 + b2*h23/12 + b1*h1*(Н/2 + h½)2 +

+ b2*h2*(Н/2 + h2/2)2. Jy? = Jy + Jy1 + Jy2 = H*B3/12 + h1* b13/12 + h2* b2/12.

Моменты сопротивления сечения (W).

Моменты сопротивления сечения определяются следующим образом:

берется соответствующий осевой или полярный момент инерции и делится на максимальное расстояние от оси до периферии сечения.

Моменты сопротивления сечения изгибу (Wх или Wу).

Определим Wх и Wу для сечений, приведенных на рис. 1.13.

Круглое сечение.

Wхо = Wуо = 2Jxo/ d = 0,1 d3

Прямоугольное сечение

Wх? = 2Jx?/ h = b*h2/6. Wу? = 2Jу?/ b = h*b2/6.

Составное сечение

Для верхних волокон

Wх?в = Jx?/(Н/2 + h1)

Для нижних волокон Wх? н = Jx?/(Н/2 + h2)

Для элемента 1

Wу1 = 2Jy?/ b1

Для элемента 2

Wу2 = 2Jy?/ b2

Момент сопротивления сечения кручению (Wр) Мы с вами будем рассматривать кручение только круглых сечений, для которых

Wро = 2Jрo/ d = 0,2 d3

Если сечение кольцевое (труба) с диаметрами d1 — внутренний диаметр; d2 — внешний диаметр, то Jр = 0,1(d2⁴ — d1⁴), соответственно

Wр = 2Jр/ d2 = 0,2*(d24 — d14)/ d2.

В каких видах расчетов нам потребуются приведенные выше геометрические характеристики сечений ?

Wх или Wу — входит в условие прочности на изгиб.

Wр — входит в условие прочности на кручение.

Jx или Jy — нужен при определении перемещений в деформации изгиба.

Jр — - нужен при определении углов закручивания в деформации кручения.

Для стандартных профилей (двутавр, швеллер) Jx; Jy; Wх; Wу даны в любой книге по сопротивлению материалов.