Вращение вокруг неподвижной оси

Движение, при котором по крайней мере две точки твёрдого тела или неизменяемой системы остаются неизменными называется вращательным, а прямая линия, соединяющая эти две точки — осью вращения.

Вращательное движение в технике встречается очень часто (валы, зубчатые колеса, шкивы, кривошипы и т. п.). Понятие вращательного движения относится только к телу, но не к точке; например, движение точки по окружности есть не вращательное, а криволинейное движение.

Рис. 30. Вращательное движение.

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 30).

Точка О — след этой оси. Траектории точек есть окружности различных радиусов.

Пусть за время t диск повернулся на угол (р. При этом точка А прошла путь S_A, а точка В — путь S_B.

Так как точки, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, за один и тот же промежуток времени проходят разные пути, следовательно, они имеют разные скорости и ускорения. Отсюда следует, что линейное перемещение (путь), линейные скорость и ускорение не могут характеризовать вращательное движение тела в целом. Вращательное движение характеризуется углом ф, на который повернулось тело за данный промежуток времени. Этот угол называется углом поворота тела. Угол поворота выражается в радианах (рад) или оборотах (об); в последнем случае угол поворота обозначается N. Между ф и N имеется следующая зависимость:

где N — число оборотов тела.

Угол поворота тела есть функция времени, следовательно, закон вращательного движения в общем виде запишется следующим образом:

Из рис. 30 видно, что путь любой точки вращающегося тела будет.

где г — расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки.

Скорость любой точки тела запишется так:

Так как расстояние г есть величина постоянная, то её можно вынести за знак производной, то есть

Выражение называется угловой скоростью и обозначается со.

Таким образом, угловая скорость равна первой производной угла поворота по времени.

Единицей измерения угловой скорости является:

Скорость вращения выражается в оборотах в минуту, обозначается буквой п и называется частотой вращения. Существует связь между угловой скоростью и частотой вращения п, которая записывается следующим образом:

Линейная (окружная) скорость любой точки вращающегося тела запишется следующим образом:

то есть в каждый момент времени скорость точки прямо пропорциональна её расстоянию от оси вращения, следовательно, график скоростей точек будет представлять треугольник (см. рис. 30). Вектор скорости точки вращающегося тела направлен перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с осью вращения (например, скорость точки ВО. Если точка лежит на поверхности вращающегося тела, то её скорость называется окружной.

Подставив в формулу линейной скорости точек тела значение угловой скорости, получим.

Пример 5. Определить время обточки вала диаметром d- 180 мм и длиной / = 1000 мм при условии обточки за один проход резца. Подача резца за один оборот вала S_o6 = 0,5 мм/об., а скорость резания V = 135 м/мин.

Решение. 1. Определяем угловую скорость со и частоту вращения вала п.

2. Определяем подачу резца в минуту:

3. Определяем машинное время, необходимое для обточки вала:

2.6.1. Виды вращательного движения.

Равномерное вращательное движение. Когда тело вращается с постоянной угловой скоростью, такое движение называется равномерным. Формулы равномерного движения:

Ускорения определяются следующим образом:

— касательное ускорение будет равно.

— нормальное ускорение:

— полное ускорение:

Неравномерное вращательное движение. При этом движении угловая скорость вращающегося тела с течением времени меняется, поэтому оно называется неравномерным.

В общем виде формулы запишутся следующим образом:

Касательное ускорение записывается так:

Выражение обозначается е и называется угловым ускорением — кинематической мерой изменения угловой скорости вращающегося тела, то есть.

Угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной угла поворота по времени.

Единица измерения углового ускорения:

Формула касательного ускорения определяется так:

Нормальное ускорение определяется также, как и при равномерном вращательном движении, то есть.

Полное ускорение будет откуда

Направляющий тангенс определяется по формуле откуда.

Если направление углового ускорения направлено в сторону вращения тела, то вращательное движение является ускоренным, а если в противоположную сторону — замедленным.

Равнопеременное вращательное движение. Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением, то вращательное движение называется равнопеременным, то есть.

откуда

или в окончательном виде формула угловой скорости будет.

где (c)о — начальная угловая скорость.

Угол поворота определяется по формуле.

Пример 6. В центробежном масляном фильтре двигателя трактора ротор вращается с частотой п = 6000 об/мин. После остановки двигателя он продолжает вращаться до полной остановки в течение времени t = 1,3 мин. Определить угловое ускорение ротора, считая его постоянным.

Решение. Определяем начальную угловую скорость и время вращения:

Разделив начальную угловую скорость на время и, учитывая, что движение замедленное, определяем угловое ускорение: