Среднеквадратичное смещение при диффузии по фракталам

Показатель 2v — обратная хаусдофова размерность геодезических линий на F, а именно v=i/2d_v Значение v подчиняется сугубо индексу связности множества F и не зависит от хаусдорфовой размерности df. Величина V— инвариант, параметр, характеризующий топологию пустот в F.

Таким образом, поведение процесса переноса на самоподобных фрактальных множествах регулируется топологическим инвариантом этого множества.

Множество Fnpn х>0 с необходимостью содержит внутренние пустоты, на огибание которых частица тратит значительную часть времени. Причиной задержек могут стать многократные — циклические — обходы пустот, а также блокировка частиц во внутренних тупиках. Поскольку при положительных у>о множество F по определению линейно связное, абсолютно все точки, лежащие на F, доступны для частиц. Пробираясь вглубь F, частица имеет шанс заблудиться в сложных переходах, обрамляющих внутренние пустоты, и в конце концов вернуться к началу своего путешествия. Никакого долгосрочного вклада в среднеквадратическое смещение <�г²(0> такое путешествие не даст. В результате рост <�г²(0> отстаёт от динамического времени f, что приводит к отклонению показателя v от 1 в меньшую сторону', v<0,5. Напротив, при х<�о распространение частиц по F ограничено компонентами связности, при этом собственно о явлениях переноса можно говорить лишь в контексте асимптотически линейно связанных множеств, для которых хаусдорфова размерность d/> 1. (При cfyci множество F всюду' разрывно, а понятие среднеквадратического смещения 2(f)> теряет естественный смысл). Асимптотически линейно связные фракталы сочетают в себе свойства связности и несвязности; их можно представить как несвязный набор линейно связанных подмоножеств. Поскольку хаусдорфова размерность каждого такого подмножества не может быть меньше 1, у частиц есть право свободно мигрировать вдоль F, оставаясь в пределах своей компоненты связности. Покидать выбранную компоненту им запрещено ввиду общей несвязности фрактала: у^<0- Последнее условие ограничивает возможности частиц поблуждать в пространстве, и им приходится в целом более дисциплинированно удаляться от своего начального положения. На микроскопическом уровне процесс выглядит скорее как баллистический, чем диффузионный, при этом рост a (f)> опережает время t, а показатель степени->о, 5.

В турбулентном процессе величина у=Н/шределяет фрактальную размерность траекторий частиц в области туфбулентности: d_w=i/H ((d_lv>i), где d_w=2+хПоследнее выражение устанавливает зависимость между' динамическими (d_w) и структурными (х) характеристиками процессов переноса в средах с фрактальной геометрией. Поскольку динамические траектории линейно связаны, величина d_w не может быть меньше 1. В интерпретации классической физики перенос возможен лишь на множествах, индекс связности которых у>-1. В зависимости от величины 0 значение d_w-2+х может превосходить размерность пространства вложения (d=2 для процессов переноса на плоскости). Объяснение заключается в существовании у динамической траектории (множественных) точек самопересечения, вклад которых в d_w пропорционален их кратности. При нулевой связности Х=О процесс переноса становится диффузионным: 2(f)>=2D-f^l. Среднеквадратичное смещение частиц растёт в этом случае линейно со временем; параметры v=H/= 0,5, d_w=2. Последнее из равенств показывает, что мощности диффузионных траекторий достаточно для всюду' плотного покрытия плоскости — свойство кривых Пеано. В евклидовых пространствах процесс предполагает гауссовы приращения величины r (f).