Показатели формы распределения

Для количественной характеристики фактического распределения применяются показатели симметричности ветвей распределения и формы его вершины. В качестве эталона для сравнения используется нормальное распределение, в котором левая и правая ветви симметричны, а вершина имеет строго определенную форму (рис. 6.3).

Оценку симметричности распределения дает коэффициент асимметрии:

В нем сравниваются центральный момент третьего порядка

и среднее квадратическое отклонение, возведенное в третью степень, Коэффициент определяет во сколько раз центральный момент третьего порядка больше среднего квадратического отклонения, возведенного в третью степень.

Рис. 63. Кривая нормального распределения (с нулевой скошенностью и нулевым эксцессом).

Центральный момент третьего порядка принимает положительные и отрицательные значения, так как третья степень разности (х, — х) сохраняет ее знак: плюс или минус. Положительная или отрицательная величина рз позволяет судить о том, какие значения х,• — максимальные или минимальные — формируют скошенность фактического распределения.

В нормальном распределении скошенность отсутствует и коэффициент асимметрии равен нулю, а в фактическом распределении К_яспи принимает любые значения. Когда коэффициент невелик и по абсолютной величине не выходит за границы интервала (0 < К_ЯС1Ш < 1,5), скошенность фактического распределения несущественна, носит случайный характер и поэтому ею можно пренебречь. Это означает, что фактическое и нормальное распределения похожи, их отличия носят случайный характер, а значения средней величины и среднего квадратического отклонения — устойчивы, надежны и могут использоваться в аналитических и прогнозных расчетах. На рис. 6.4 приводится нормальное (/") и асимметричное (/") распределение с правосторонней скошенностью, которую вызвало более высокое число объектов, чьи значения значительно превышают среднюю величину.

Рис. 6.4. Нормальное и асимметричное распределения (с правосторонней скошенностью):

1 — Л; 2-}_а

Покажем расчет коэффициента асимметрии, но данным о возрасте занятого населения (табл. 6.13).

Центральный момент третьего порядка по вариационному ряду рассчитывается с учетом числа единиц в каждой группе (/)) но следующей формуле:

Коэффициент асимметрии рассчитывается так:

Коэффициент невелик и указывает на отсутствие скошенности фактического распределения, на его схожесть с нормальным распределением, на надежность среднего возраста и среднего квадратического отклонения: их можно использовать в аналитических и прогнозных расчетах.

Таблица 6.13

Расчет коэффициентов асимметрии и эксцесса, но вариационному ряду распределения по возрасту занятых в экономике РФ в 2015 г.

Коэффициент эксцесса сравнивает форму вершины фактического и нормального распределений. Вершина нормального распределения описывает стандартное расположение л*, в непосредственной близости от х. В этом случае Е_{х экс} = 0. На рис. 6.5 представлено нормальное (/") и плосковершинное распределение (f_ex) с отрицательным эксцессом.

Рис. 6.5. Нормальное и плосковершиннос распределения (с отрицательным эксцессом):

1 «Л: 2 ~fex

При расчете коэффициента эксцесса сравниваются центральный момент четвертого порядка и среднее квадратическое отклонение в четвертой степени. В нормальном распределении это отношение равно 3, поэтому для оценки отклонения фактической формы вершины от ее формы в нормальном распределении из данного отношения вычитается 3.

Расчет коэффициента эксцесса выполняется по формуле.

где щ центральный момент четвертого порядка.

q’J. — среднее квадратическое отклонение в четвертой степени.

Значение коэффициента эксцесса зависит от того, как распределяются значения признака по отношению к его средней величине. При положительном значении коэффициента вблизи от х находится большее число единиц, чем в нормальном распределении, и вершина характеризуется как острая. При острой вершине и коэффициенте эксцесса менее 1,5—1,7 вариация дг, считается небольшой, коэффициент вариации V_x менее 30% (У_х < 30%), а средняя величина считается высоко типичной.

При отрицательных значениях коэффициента эксцесса фактическое распределение по сравнению с нормальным имеет более плоскую вершину. При этом чем дальше отрицательный коэффициент эксцесса от нулевого значения, тем более существенным будет отличие фактического распределения от нормального, т. е. тем более плоской будет вершина фактического распределения. В этом случае x_f удалены от .г гораздо чаще, чем в нормальном распределении. Это указывает на ненадежность средней и отражается в высоких значениях коэффициента вариации (V_x > 80%). Причина статистически значимого отрицательного эксцесса заключается в высокой неоднородности значений признака x_i из-за присутствия в изучаемом множестве объектов с резко различающимися значениями. При статистически значимом отрицательном эксцессе не следует применять х по причине ненадежности ее значения. Отрицательный эксцесс может быть исправлен, если провести группировку изучаемых единиц и выделить более однородные подмножества с минимальной вариацией, надежной средней х и средним квадратическим отклонением a_v.

В табл. 6.13 представлены данные для расчета коэффициента эксцесса:

Отрицательное значение коэффициента показывает, что по сравнению с нормальным фактическое распределение отличается плосковершинностыо. Близость коэффициента к нулю характеризует эту особенность как статистически незначимую. Следовательно, подтверждается ранее сделанный вывод о приемлемой однородности значений возраста занятого населения, о надежности показателя среднего возраста и среднего квадратического отклонения.