Диффузионные неустойчивости и автовол-новые колебания

Ранее мы обсуждали диффузию, осложненную химической реакцией, однако имеет место и обратная ситуация: диффузия управляет кинетику химической реакции. Такие процессы происходят в реакционнодиффузных системах, обладающих диффузионными неустойчивостями, приводящими к возникновению автоволновых колебаний и диссипативных структур, эволюционирующих в пространстве и времени.

В данной главе представлены некоторые варианты реакционнодиффузных моделей. Математический аппарат таких моделей очень громоздок и сложен для изложения в учебном пособии. Поэтому ограничимся исходными дифференциальными уравнениями и коротко обсудим вытекающие из них физические следствия.

Реакционно-диффузные системы

Краевые задачи типа «реакция — диффузия» — модель, на которой изучаются процессы формирования пространственно неоднородных структур в пространственно однородных средах. Подобные эффекты предсказаны А. Тьюрингом, изучавшим явления диффузионной неустойчивости пространственно однородных решений. Теорема Тьюринга-Пригожина утверждает, что при определенном изменении диффузионного параметра системы пространственно однородный режим теряет устойчивость и появляются устойчивые пространственно неоднородные режимы.

Реакционно-диффузионные системы — математические модели, которые объясняют, как концентрации одного или нескольких веществ распространяются в пространстве, изменяясь под влиянием процессов, включающих локальные химические реакции, в которых вещества превращаются друг в друга, и диффузию, заставляющую вещества распространяться в пространстве.

Математически, реакционно-диффузионные системы принимают форму полулинейных параболических уравнений в частных производных:

где каждый компонент вектора u (x, t)~ концентрация одного вещества, D- диагональная матрица из коэффициентов диффузии, а в R собраны все локальные реакции.

Решения подобных уравнений описывают широкий спектр явлений: формирование бегущих волн и волновых процессов, а также других самоорганизующихся паттернов (узоров), таких как полосы, шестиугольники или более сложные структуры типа диссипативных солитонов.

Диссипативные структургл — устойчивые пространственно неоднородные структуры, воз) шкающие в результате развития неустойчивостей в однородной неравновесной диссипативной среде. Примерами служат ячейки Бенара (чередование восходящих и нисходящих конвекционных потоков в жидкости), страты в плазме, неоднородные распределения концентрации в химических реакторах, перистые облака и т. п.

Простейшее реакционно-диффузионное уравнение относительно концентрации и единственного вещества в системе dtU=Dc²u+R (u) называется КПП (Колмогоров, Петровский, Пискунов) уравнением. Если реакционный член равен нулю, то уравнение описывает процесс классической диффузии (2-й закон Фика), если R (u)=u{i-u) имеем уравнение Фишера, описывающее распространением биологических популяций, если R (u)=u ( 1- u²) — уравнение Ныоэлл-Уайтхед-Сигела, описывающее конвекцию РэлеяБенара, если tf (u)=u (i-u)(u-a) (oменяемое в теории горения; его частный случай R (u)=u²-u3 тоже называют уравнением Зельдовича.

Динамику однокомпонентных систем можно представить в вариационном виде.

Л, задавае;

отражающим постоянное уменьшение «свободной энергии», мое функционалом.

с потенциалом V (u), определяемым uoR (u)=dV (u)/du.

Если в системе функционирует несколько стационарных однородных процессов, решение задаёт бегущие фронты, соединяющие однородные состояния. Эти решения описывают движения с постоянной скоростью перемещения фронта без изменения его формы: u (x>t) =н (?) с ?=д:-ct, где с — скорость бегущей волны. В то время как бегущие волныустойчивые структуры, все немонотонные стационарные решения неустойчивы. В случае с=о ииоМ — стационарное решением, и u=u₀(x)+u (x, t) — бесконечно возмущенное решение и.

С учётом й=1/;(л')ехр (-А0приходим к задаче на собственные значения Ну/= Ау/, Н = -D8] +U (x) Она сводится к уравнению типа Шредингера, в котором отрицательные собственные значения дают неустойчивости в решениях.

Для определения скорости движения фронта переходят к подвижной системе координат анализируют стационарные решения:

Од²м (^)+сдМ (^) + R{u{i/s)) = 0.

Это уравнение имеет механический аналог — движение массы D с позиции й за время ?, при силе R с коэффициентом затухания с, что позволяет получить различные решения и определить с.

Двухкомпонентные системы реализуют значительно больший диапазон возможных явлений, чем однокомпонентные. Важно, что состояние, стабильное в локальной системе, может стать неустойчивым при наличии диффузионных процессов. Эта идея реализуется только в четырёх классах систем. Частный случай — уравнение Фитцхью-Нагу'мо.

где f (u)=u-u*-tc, описывает, например, как потенциал действия проходит через нерв. Здесь d_u, d_v, т, а и X положительные постоянные.

Если в системе активатор-ингибитор имеет место изменение параметров, то однородное стабильное состояние может стать линейно неустойчиво. Возникающие здесь бифуркации мог>т быть либо бифуркацией Хопфа, либо бифуркацией Тыоринга. Последняя в двумерных системах, как правило, приводит к полосатым или гексагональным узорам. Другие часто встречающиеся структуры представляют собой серии импульсов (периодические бегущие волны), спиральные волны и узоры типа мишень.

Примерами применения уравнений, записанных с учётом трёх (и более) компонентов реакционной диффузии, является реакция БелоусоваЖаботинского, динамика свертывания крови, функционирование плоских газоразрядных систем и т. п.

Рис. 1. Докритические бифуркацииТьюринга: формирование гексагональных узоров из хаотичных начальных условий в двухкомпонентной реакционно-диффузионной системе типа Фицхью-Нагумо: а — хаотичные начальные условия при t=о; б — состояние системы при f=io; в — t = юо.

Рис. 2. Узоры для двухкомпонентный реакционно-диффузионной системы типа Фицхью-Нагумо. а — вращающаяся спираль б — узор мишень, в — стационарно локализованный импульс (диссипативный солитон).

Решение одномерного однокомпонентного реакционно-диффузного уравнения, используемого для описания распространения доминирующего вида вдоль прямой, предсказывает появление самоподдерживающающейся бегущей волны переключения между стационарными однородными состояниями. Оно позволяетопределить предельную скорость перемещения фронта волны, а также его предельную форму.

Уравнения модели составлены относительно дву^хпеременных Переменная и описывает динамику мембранного потенциала, a v отвечает за его восстановление. Параметры а, Ь, г — некоторые константы, причем значение е, как правило, предполагается малым: с<<1, а I- стимулирующий поток. Эта модель применена для описания реакции БелоусоваЖаботинского, а также для описания раскраски шкур животных, крыльев бабочек, ракушек и т. п.