Использование качественной информации при моделировании поля температур в расплаве стекла

При синтезе математической модели используем метод аппроксимации аналогично тому, как это выполнено в предыдущем разделе. Однако при моделировании поля температур в стекломассе имеются некоторые отличия.

Строго говоря, в основе качественной информации о распределении температур в расплаве стекла лежат результаты измерений на действующих системах. Отметим, что измерения проводятся в ограниченном числе точек бассейна печи и не охватывает всего объема бассейна. Примеры таких измерений показаны на рис. 3.3.

В начале данной главы показано, что при производительностях стекловаренных печей, которые достигнуты к настоящему времени, не наблюдается резкого изменения характера распределения температур в стекломассе. Безусловно, данный вывод относится к ваппым стскловареппым печам без устройств интенсификации процесса варки стекла. Такими устройствами являются дополнительный электроподогрев, барботирование стекломассы сжатым воздухом, механическое перемешивание расплава. Этот вывод дает основание проводить обобщение экспериментальных данных на этапе синтеза математической модели. Одним из методов такого обобщения является подход нечетких множеств, при котором связь между пространственными координатами и изменением температуры в среде определяется нечетким отношением [8, 11, 12]. Обобщение выполняется при задании функций степеней принадлежности первичных нечетких подмножеств.

Спачала рассмотрим достаточно простую задачу, при формулировке которой предполагается, что коэффициент эффективной теплопроводности стекломассы не зависит от температуры и отсутствует перенос тепла, обусловленный конвекцией стекломассы. При таких допущениях задача может быть сведена к решению уравнепия Лапласа. Проверка подхода нечетких множеств выполняется сравнением получаемых результатов. Далее рассмотрим решение более сложной задачи.

При принятых допущениях опишем распределение температуры в двухмерной области, изображенной на рис. 3.7. В качестве условий па гоаппнах области примем функцию.

где Т — температура стекломассы, у — координата, но глубине бассейна, В — глубина бассейна печи.

Функция ф (х) определяется функцией тепловых потоков на верхней поверхности расплава стекла. Последняя вычисляется рассмотренным в предыдущем разделе способом. На дне печи при у = 0 значение производпой дТ!ду = к примем постоянным. Кроме этого, пренебрежем тепловыми потоками, проходящими через боковые степы бассейна печи.

Принятые допущения позволяют рассматривать расплав стекла как систему, состояние которой характеризуется двумя параметрами — координатой выбранной точки (х, у) и температурой Т (я, у). Связь между параметрами определим нечетким отношением Я.

При нагреве расплава сверху и отсутствии движения стекломассы очевидным является то, что температура в верхних слоях расплава выше, чем в нижних. Можно предположить экспоненциальный характер изменения температуры по глубине бассейна, что используем при формализации связи между параметрами.

Введем обозначения: Y — универсальное множество координат //, U — универсальное множество приращений АТ (х, у) функции Т (я, у) — и рассмотрим решение задачи при фиксированной координате х. Поэтому с целью сокращения записи в обозначении функции Т (х, у) в дальнейшем координату х будем опускать.

Определим приращение АТ (у) фупкцпи Т (у) нечетким подмножеством Д Ту универсального множества U максминным произведением

где у — нечеткое подмножество универсального множества Y _у характеризующее координату у; Ау — шаг по координате у. С помощью фупкций степеней принадлежностей композицию (3.18) можно записать в виде.

Исходя из граничных условий на дне бассейна нечи, величину приращения функции TJy) при у — 0 можно принять в виде одноточечного множества АТ₀ = /(кАу).

Нечеткое отношение Я найдем формализацпей следующего условного предложения:

Используя выражение (2.21), формализуем это предложение.

Аналогично тому, как это выполнялось в задаче экстраполяции функции тепловых потоков в области под плавящейся шихтой и пеной, определим нечеткие множества, входящие в последнее выражение:

где С — масштабный коэффициент;

Отметим, что первичное задатке масштабного коэффициента с и псчстких отношений /?, и В₂ подвержено субъективизму. Поэтому может возникнуть необходимость в их оптимизации. В данном случае, принимая экспоненциальный характер изменения температуры по координате у, нечеткие отношения и Я₂ задавались в виде, который приведен в табл. 3.3, 3.4.

Выражения (3.19)—(3.22) позволяют вычислить нечеткое отношение /?, которым формализована связь между координатой у и приращением АТ (у). При изменении координаты у с шагом Ду сформируем нечеткое подмножество у, которое зададим в виде одноточечного множества у = Му. Тогда с помощью композиции (3.18) может быть вычислено нечеткое подмножество АТ_У+_Ду. Для перехода к величине приращения АТ (у) найдем и = = arg{max [р_д^_+д^(ц)}. В случае, если таких элементов несколько, необходимо вычислить их среднее арифметическое. В результате вычислений получим множество {м,} (I = 1, л), где п = — В/Ay. Выделим максимальный м^ах и минимальный и_т|_П элементы этого множества.

Действительные значения приращений АТ вычислим, используя линейное преобразование.

Коэффициенты а и b находятся из граничных условий которым соответствуют приближенные равенства.

Подставляя значения ДГтах и н_тах, а также Г_тт и i/_min в равенство (3.23), получим систему уравнений, из которой находятся искомые коэффициенты. С помощью преобразования (3.23) вычисляется множество приращений AT_t (i = 1, /г).

Зная приращения АТ (у) функции Т (у) по координате у и распределение температур Т (х, 0) стекломассы на дне бассейна печи, которое контролируется с помощью термоэлектрических преобразователей, установленных в дне бассейна, нетрудно рассчитать изменение температуры расплава по координате у в соответствии с выражением.

Аналогичные вычисления выполняются при изменспип координаты х с шагом Ах. При этом используются выражения (3.25), (3.23), (3.26) и вычисляются коэффициенты а и Ь. Упрощенная диаграмма алгоритма приведена на рис. 3.8. Пример результатов расчета поля температур в стекломассе, выполненный рассмотренным методом, показан в табл. 3.6.

Поставленную задачу можно решить и другим способом. Исходя из принятых допущений, распределение температур в стекТаблица 3.6. Результат расчета поля то. чператур методом нечетких множеств (температура, ^СС).

Уровень стекломассы, м.	Координата по длине печи х. м.
0,8.
0,0.
0,4.
0,2.

ломассе бассейна пзчи должно удовлетворять уравнению Лапласа д²Т/дх— 4- д^гТ/ду- = 0 при граничных условиях (3.24), которые дополним следующим: дТ/дх — 0 при х = 0; х = L, где L — длина бассейна ванной стекловаренной печи.

Решение этой задачи может быть получено, например, методом Фурье [10], при котором поле температур можно представить выражением.

а_п — коэффициенты разложения функции ф (х) в ряд Фурье по косинусам; F — произвольная постоянная, выбираемая из условий на границе стекломассы с дном печи, т. е. на основе заданной функции Т (х, 0). Результаты расчета поля температур по формуле (3.27) приведены в табл. 3.7. Отметим, что результаты, показанные в табл. З. б и 3.7, получены при одних граничных условиях.

Таблица 3.7. Результат расчета поля температур методов Фурье .(температура, °С).

Уровень стекломассы, м.	Координата по длине печи х. м.
0,8.
0,6.
0,4.
0,2.

Рис. 3.9. Зависимость коэффициента теплопроводности листового стекла от температуры (37]

Рис. 3.10. Зависимость радиационпохТпроводимости листового стекла от температуры (36]

Сравнение результатов моделирования поля температур, которые получены методом нечетких множеств и методом Фурье, показывает, что относительная ошибка расчета с использованием нечетких множеств менее 6%. Это доказывает справедливость подхода нечетких множеств при решении такого типа задач. Следует отметить, что реализация на ЭВМ алгоритма расчета поля температур с помощью нечетких множеств требует в 5—6 раз меньше машинного времени, чем расчет методом Фурье.

Перейдем к рассмотрению более сложной задачи при моделировании поля температур в стекломассе. Учтем зависимость коэффициента эффективной теплопроводности от температуры. Пусть эта зависимость имеет вид к = / (Т). Графики данной зависимости для листового стекла приведены на рис. 3.9, 3.10.

При фиксированной координате х изменение теплового потока в стекломассе зададим условным предложением: «Если у = близко к 0, то G™ = больше G₀, иначе (?⁽_у²⁾ = много больше G₀». Здесь у — нечеткое подмножество универсального множества Y, характеризующее координату у G_yi G₀ — нечеткие подмножества универсального множества U, характеризующие тепловой поток в расплаве стекла в точке с координатой у и на дне бассейна печи (у = 0) соответственно.

Связь между тепловым потоком Q (у) и координатой у определим нечетким отношением R. При этом используем максминное.

где у — нечеткое одноточечное множество Му.

Композиция (3.28) позволяет при изменении координаты у ?с шагом Ау вычислять нечеткие подмножества G_u. В качестве рассчитанной величины теплового потока на можестве U примем и = arg {шах (и)!}. Если таких элементов несколько, то вычислим их среднее арифметическое.

Пусть в результате вычислений получена функция и (у) ЕЕ U. Найдем максимум н_тах и минимум u_min этой функции. Для перехода к действительным величинам теплового потока Q (у) используем линейное преобразование.

где а, b — коэффициенты, определяемые из граничных условий.

В качестве граничных условий примем тепловые потоки —Q_x (я), поступающие на стекломассу из газового пространства печи, и тепловые потоки Q₂ (х)_} которые обусловлены потерями тепла через дно бассейна. Последние принимаем независящими от координат по длине х и ширине г печи:

Отметим, что задание функции Q_v (я) в зоне, покрытой шихтой и варочной пеной, осуществляется рассмотренным в предыдущем разделе способом. Наряду с этим является заданным распределение температур Т (х) в придонных слоях стекломассы по длине печи.

Подставляя граничные условия (3.30) в равенство (3.29), получим систему уравнений: Q_x (д;) = au_max + b; Q₂ = aumin + 6, «з которой нетрудно найти коэффициенты а и Ь. Далее по выражению (3.29) вычисляются тепловые потоки Q (у).

В соответствии с законом Фурье Q (у) = —к (T)-dTldy, где к (Т) — коэффициент эффективной теплопроводности стекломассы, вычислим приращение функции Т (у). Для этого используем приближенное равенство ДТ (у) = Q (у) Aylk (Т). Тогда при заданном распределении температур Т (х) стекломассы в придонных слоях изменение температуры по глубине бассейна может быть вычислено по формуле Т (у -{- Ay) = Т (у) + АТ (у).

Рассмотренный способ расчета повторяется при изменении координаты х.

Таким методом решалась трехмерная задача для получения количественной оценки распределения температур в поверхностном слое стекломассы под шихтой и непой в бассейне ванной стекловаренной печи.

Первым этапом решения задачи является экстраполяция функции тепловых потоков под шихтой и пеной в бассейне печи.

В отличие от задачи, рассмотренной в предыдущем разделе, здесь необходимо выполнить экстраполяцию функции в двухмерной области, которая на рис. 3.11 отмечена как зона, покрытая шихтой и варочной пеной.

Используя систему координат, показанную на этом рисунке, проведем разбиение объема бассейна ванной печи продольными вертикальпыми плоскостями с шагом по координате z, равным Az. Для каждого сечения решается задача экстраполяции функции тепловых потоков под слоем шихты и варочной пены. Для осевого сечения бассейпа печи решение выполняется в полном соответствии с методом, рассмотренным в предыдущем разделе. При этом вычисляется величина / — интегральное количество теплоты, поглощаемое стекломассой под шихтой и варочной пеной в этом сечении. В этом случае основпым условием правильности аппроксимации является равенство (3.3). В двухмерном случае это условие имеет вид ^Qds = О, где интеграл берется но.

s

поверхности 5, ограничивающей расплав стекла в бассейне печи.

Вторым этапом решения задачи является оценка поля температур в расплаве стекла варочпого бассейна печи при заданных граничных условиях. Решение задачи выполняется отдельно для каждого продольного сечения методом формализации качественной информации с учетом зависимости коэффициента эффективной теплопроводности стекломассы от температуры, так как результаты моделирования поля температур без учета этой зависимости существенно расходятся с экспериментальными данными.

На рис. 3.11 точками А_1У Л₂, /1₃, Л₄ отмечены места экспериментального измерения температур стекломассы по глубине бассейна. В скобках указаны величины температур поверхностного слоя расплава. При задании нечеткого отношения /?, которым формализована связь между координатой у и тепловым потоком Q (у) в расплаве стекла, использованы результаты измерений в точке А_х. Остальные экспериментальные измерения температур являлись контрольными. Сравнение экспериментальных данных с результатами вычислений температур поверхностного слоя стекломассы показало, что максимальные отклонения составляют величину порядка 3,5%. Такая ошибка может быть объяснена тем, что в исходных посылках не учитывался перенос теплоты, обусловленный движением расплава, а также ошибкой измерений, при выполнении которых образуют локальные участки поверхности стекломассы без шихты.

Рассмотренные задачи позволяют получать количественную оценку распределения температур в расплаве стекла бассейна стекловаренной печи в статическом режиме. При этом использованы результаты экспериментальных измерений на действующем производстве. Такие измерения не дают необходимой оперативности при решении задачи управления технологическим агрегатом. Оперативный контроль теплового режима стекловаренной печи отсуществляют с помощью термоэлектрических преобразователей, измеряющих температуру в газовом пространство и стекломассе. Поэтому может потребоваться решение следующей задачи.