Паутинообразная модель без обучения

Паутинообразная модель (без обучения) является одной из простейших динамических моделей взаимодействия фирмы и рынка. Она позволяет моделировать процесс установления равновесия на отдельном однопродуктовом рынке в дискретном времени при условии, что спрос определяется текущим значением цены, а предложение ориентируется на цену предыдущего периода, так как текущая цена становится известной только в процессе реализации произведенного продукта. В качестве предполагаемой цены текущего периода, по которой осуществляется предложение, выступает текущая цена предыдущего периода (с модификациями) за неимением другой. При этом предполагается, что в каждый момент времени объемы спроса и предложения равны, а определяющие их функции линейны и не меняются во времени.

Предложение и спрос определяются ценой, но можно учитывать и другие факторы, влияние которых не столь очевидно во взаимодействии фирмы и рынка. Для упрощения этого влияния функции предложения и спроса имеют стохастическую составляющую.

Введем следующие обозначения:

t = 0,…, Т — горизонт моделирования;

P_t — цена продукта в период времени t;

S_t — объем предложения в период времени t;

D_t — объем спроса в период времени.

U_t, V_t, W_t — независимые случайные величины (шумы);

А, В, С, Е — параметры функций спроса и предложения.

Тогда паутинообразная модель задается следующей системой уравнений:

S, = С + ЕР,_j + V, — предложение на рынке в период времени t,

D, = A — BP, + U, — спрос на рынке в период времени С,

S_t— D, + W_t — условие локального равновесия рынка.

Следует обратить внимание, что стохастические колебания в зависимости предложения и спроса от цены и соотношения предложения и спроса носят случайный характер. И эти колебания — вокруг нуля. В противном случае, если математическое ожидание колебаний отличается от нуля, т. е. это систематическое влияние, то это может быть учтено в величине константы соответствующих функций. Здесь не рассматривается сезонность в поведении предложения и спроса.

Данная постановка отличается от детерминированной теоретической паутинообразной модели только наличием указанных стохастических составляющих. Положив их тождественно равными нулю в рамках данной модели, можно получить общеизвестный результат, состоящий в том, что при превышении величины эластичности спроса над величиной эластичности предложения (в абсолютном значении) цена будет стремиться к равновесному уровню и, наоборот, при превышении величины эластичности предложения над величиной эластичности спроса цена будет колебаться с возрастающей амплитудой. В этом смысле описываемый стохастический вариант паутинообразной модели является более общим и уже не позволяет выписать однозначное правило поведения модели. Для выяснения этих правил при различных значениях параметров, различных законах и параметрах распределений шумов необходимо использовать имитационную модель. Блок-схема паутинообразной модели приведена на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Блок-схема паутинообразной модели.

Состоянием модели в момент времени t является вектор (Р_п S_t, D_t). Рекуррентные формулы перехода из состояния t — 1 в состояние t следуют непосредственно из приведенных выше уравнений:

Начальным условием является цена в нулевой момент времени.

Пример 3.4.

Рассмотрим детерминированный пример, когда отсутствуют шумы. Параметры модели задаются значениями из табл. 3.10. Начальная цена продукта Р₍₎ = 50.

Таблица 3.10

Паутинообразразная модель: параметры.

Поведение модели (изменение переменных состояния) приведено в табл. 3.11.

Таблица 3.11

Поведение паутинообразной модели.

Цена продукта меняется с течением времени, но колебания цены уменьшаются. С некоторого периода времени цена продукта становится неизменной. Это так называемая равновесная цена, на основании которой формируемое предложение будет потреблено полностью по этой цене. На рис. 3.10 можно увидеть затухание колебания цены.

Рис. 3.10. Диаграмма изменения цены продукта в паутинообразной модели.

В стохастической имитационной модели шумы могут оказывать влияние на поведение модели (рис. 3.111), но в данном примере параметры генераторов случайных чисел подобраны таким образом, чтобы выявленная тенденция сильно не искажалась.

Рис. 3.11. Диаграмма изменения цены продукта в стохастической паутинообразной модели.

Использование имитационной паутинообразной модели не всегда позволяет получить равновесное значение цены продукта. Например, детерминированная модель с параметрами, взятыми из табл. 3.12, не может выйти на значение равновесной цены (рис. 3.12).

Таблица 3.12

Вариант параметров модели.

Рис. 3.12. Диаграмма изменения цены продукта в стохастической паутинообразной модели с расхождением от равновесной цены

Возможны случаи, аналогичные приведенному на рис. 3.13.

Рис. 3.13. Диаграмма изменения цены продукта в стохастической паутинообразной модели с расхождением от равновесной цены.

Эта модель является усовершенствованием предыдущей модели (без обучения), в которую было неявно заложено предположение о том, что цена продукта прошлого периода не изменится и останется такой же в текущем.

Будем предполагать, что формирование текущего предложения будет учитывать историю изменения цены. В простейшем случае будет отслеживаться цена за два предыдущих периода времени. Предложение планируется, ожидая, что цена Р, будет равна:

где Д/(_, = - Р(_2 — изменение цены (t — 1)-го периода по отношению к предыдущему; k, 0 < k < 1, — коэффициент обучения, характеризующий значение, которое поставщики придают наблюдаемым колебаниям цен.

Таким образом, для определения предложения используется расчетная цена, значение которой базируется на последней известной цене и ее изменении. Тогда формула для расчета предложения будет выглядеть следующим образом:

Предположения, на основании которых определяется текущая цена, остаются без изменения. Отличие от предыдущей модели только в наличии параметра k. Установив значение коэффициента обучения равным нулю, мы получим модель без обучения.

Цель данной модификации паутинообразной модели остается прежней — нахождение равновесного значения цены. Можно предположить, что скорость схождения к равновесной цене будет больше, чем у модели без обучения.

Пример 3.5.

Рассмотрим пример модели со значениями параметров как в примере 3.4 (см. табл. 3.10). Предположим, что до момента начала проведения испытаний цена изменялась следующим образом: Р_, = 140, Р₀ = 50. Поведение модели в части изменения цены продукта в графической форме приведено на рис. 3.14. Сходимость к равновесному значению цены наблюдается примерно с 15-го периода.

Рис. 3.14. Диаграмма изменения цены продукта в стохастической паутинообразной модели с расхождением от равновесной цены В предыдущих моделях цены устанавливались па таком уровне, чтобы обеспечить локальное равновесие рынка только за счет текущего производства, и никаких запасов продукции не создавалось (например, это верно для быстропортящихся продуктов). В данной модели вводится дополнительная группа участников рыночного механизма, которых мы будем называть коммерсантами. Они держат запасы и организуют торговлю.

Рассмотрим полностью детерминированную модель:

Q, — уровень запаса к концу ?-го отрезка времени;

Планируя цену на текущий отрезок времени, коммерсанты повышают ее относительно цены на предыдущем отрезке, если в течение последнего промежутка запасы уменьшились, и понижают — в противном случае. При этом изменения цен выбираются пропорциональными колебаниям запасов:

где k — положительная константа.

Тогда функция предложения имеет вид.

Таким образом, для вычисления переменных Р_п S_t, D_r на произвольном отрезке времени Т достаточно задать начальные значения Р₀, AQo и управляющий параметр k.

Обратите внимание!

Для практического построения паутинообразной модели с запасами необходимо дополнить формальное описание этой модели описанием всех недостающих функциональных зависимостей.