Задачи для самостоятельной работы

6.1. Случайный процесс имеет вид Y (t) = Хе^ч (t > 0), где X — СВ, распределенная по нормальному закону с параметрами а и ст². Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию процесса Y (t).

6.2. Рассмотрим дискретную цепь Маркова, для которой матрица вероятностей переходов равна

Найти стационарное распределение данной цепи Маркова.

• 6.3. Пусть каждая заявка пуассоновского потока с параметром, А независимо от других заявок с вероятностью р отсеивается, а с вероятностью q= -р остается. Показать, что поток отсеянных заявок — пуассоновский с параметром Ар.
• 6.4. Пусть 0 = t₀ < t_i < ti <… < t" <… — моменты поступления заявок пуассоновского потока с параметром А. Пусть заявка, поступающая в момент t₀ = 0, отсеивается, следующие (А' - 1) заявок остаются и г. д. Показать, что промежутки времени между поступлениями заявок такого потока будут иметь распределение Эрланга А-го порядка с параметром А.
• 6.5. Рассмотрим так называемое многофазное обслуживание. Например, обслуживание состоит из нескольких операций, или фаз: v=v, + v₂ +… + v^. Предположим, что каждая фаза V/ имеет показательное распределение с параметром р и что фазы статистически независимы. Показать, что время обслуживания заявки v будет иметь распределение Эрланга /г-го порядка с параметром р.
• 6.6. Рассматривается производство автомобилей на автозаводе. Считая поток производимых автомашин пуассоновским с интенсивностью А, найти стационарное распределение случайного процесса t,(t) — числа выпущенных автомашин к моменту времени t, если в момент I: = 0 выпущена первая автомашина.
• 6.7. В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью Х= 1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в среднем трем дням. Аудиторская фирма располагает пятью независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (обслуживание заявок). Очередь заявок нс ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Определить вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационарном режиме.
• 6.8. Билетная касса работает без перерыва. Билеты продает один кассир. Среднее время обслуживания — 2 мин на каждого пассажира. Среднее число пассажиров, желающих приобрести билеты в кассе в течение 1 ч, равно 20. Все потоки в системе простейшие. Определить среднюю длину очереди, вероятность простоя кассира, среднее время нахождения пассажира в билетной кассе в условиях стационарного режима работы кассы.
• 6.9. Интенсивность потока автомобилей на АЗС к трем колонкам за бензином АИ-92 составляет 60 автомобилей в час. Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. Число мест в очереди не ограничено. Все автомашины, вставшие в очередь на заправку, дожидаются своей очереди. Все потоки в системе простейшие. Определить вероятностные характеристики работы АЗС в стационарном режиме.
• 6.10. В гипермаркет поступает пуассоновский поток с интенсивностью 200 покупателей в час. В течение дня их обслуживают три контролера-кассира с интенсивностью 90 покупателей в час. Определить вероятность образования очереди в магазине и среднюю длину очереди в течение дня.