Математическая статистика. 
Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов

В результате изучения данного раздела студент должен: знать

• • задачи математической статистики;
• • основные понятия математической статистики;
• • методы статистического оценивания параметров;
• • основы проверки статистических гипотез;
• • возможности применения математической статистики в экономике; уметь
• • решать задачи математической статистики;
• • оценивать параметры распределений;
• • находить доверительные интервалы для параметров;
• • решать задачи проверки статистических гипотез; владеть
• ? навыками использования критериев проверки гипотез;
• ? методами математической статистики;
• ? навыками проведения дисперсионного, корреляционного, факторного и кластерного анализов;
• • навыками использования статистических методов при исследовании экономических процессов.

ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

7.1. Предмет и задачи математической статистики

Математическая статистика выделяется из теории вероятностей в самостоятельную область, хотя основные методы и приемы рассуждений в ней остаются теми же самыми. Причиной этого является специфичность задач математической статистики, являющихся в известной мере обратными к задачам теории вероятностей. Если в теории вероятностей мы исходным материалом имели вероятностную модель случайного явления и на ее основе рассчитывали возможные реализации данного случайного явления, то в математической статистике мы, наоборот, имеем некоторую реализацию случайного явления и по этой реализации устанавливаем вероятностную модель с целью получения возможности рассчитывать любые другие возможные его реализации, прогнозировать данное явление.

В качестве реализации случайного явления или случайного события выступают так называемые статистические данные. В большинстве случаев исходные статистические данные — результат наблюдений некоторого признака, являющегося СВ ^ с ФР /%(дг) или характеризующегося системой случайных величин •••> %п-

Определение 7.1. Совокупность всех возможных реализаций исследуемой СВ или системы случайных величин называется генеральной совокупностью (ГС).

Примерами ГС могут служить множество рабочих данного цеха при изучении вопроса о качестве выпускаемой продукции, множество населения страны при исследовании ее трудовых ресурсов и т. д.

Пусть требуется изучить некоторую ГС. Для этого можно провести сплошное обследование. Однако если число объектов ГС велико, то осуществить указанное обследование чрезвычайно сложно. Если же изучение связано с уничтожением объектов, например при определении продолжительности работы электрического оборудования, то сплошное обследование вообще не имеет смысла. Поэтому для изучения ГС применяется выборочный метод, суть которого состоит в том, что обследованию подвергают не все элементы ГС, а только часть их, случайно выбранную из данной совокупности. Выводы, полученные при исследовании этой части, распространяются на всю ГС.

Множество элементов ГС, случайным образом выбранных из нее, называется выборкой, а число их — объемом выборки. Очевидно, главное требование к выборке — она должна хорошо представлять ГС, т. е. должна быть репрезентативной. Выборка будет репрезентативной, если ее выбирать случайным образом и в достаточном объеме. Ниже мы определим необходимый объем выборки.

Предположим, что при изучении некоторого признака мы проводим п опытов и получены следующие результаты: х_х, х₂, …, х_п. Будем предполагать, что во всех п опытах условия эксперимента оставались одинаковы, а сами эксперименты были независимы друг от друга. Тогда результаты п опытов х_{, х₂ух_п формально можно рассматривать как независимые в совокупности СВ с одним и тем же законом распределения, принимающие в каждой серии экспериментов определенные значения.

Например, в первой серии получены значения х*х₂…>х^ во второй — х²…_ух". Строго говоря, результат наблюдения следовало бы обозначать 2^, > •••" если придерживаться введенных в теории вероятностей обозначений. Однако в математической статистике сложилась досадная традиция, в силу которой х_{, х₂, …, х_п обозначают иногда СВ, а иногда неслучайные числа, притом в одной и той же формуле.

Итак, мы можем дать следующее формальное определение выборки.

Определение 7.2. Случайной выборкой объема п из ГС называется случайный вектор x = (x_v…, x_n), компоненты которого — результаты п опытов.

x_r i- 1,2, …, п, независимы и одинаково распределены, причем их распределение совпадает с распределением ГС.

Таким образом, если ГС имеет распределение F^(x), то Р (х_{ для V i = 1,2,…, п.

Так как выборку мы рассматриваем как совокупность независимых, одинаково распределенных СВ, то любую характеристику, полученную на основе выборки, следует рассматривать как СВ, значения которой зависят от конкретной реализации. В математической статистике эти СВ называются статистиками.

Определение 7.3. Статистикой называется любая измеримая функция от выборки.

Если значения выборки записать в неубывающем порядке *(1) -^х{2) -—-^х(п)> ^то получим последовательность, называемую вариационным рядом, а Хм называются вариантами или порядковыми статистиками. Разность между крайними членами вариационного ряда R" ^=х(п) ~^х() называется размахом варьирования.

Замечание 7.1. Возможно упорядочение значений выборки в невозрастающем порядке.

Вариационный ряд может быть дискретный или интервальный.

Дискретный вариационный ряд — это ряд, в основу построения которого положен признак с прерывным изменением (число рабочих на предприятии, число детей в семье и т. д.). Этот признак может принимать только конечное число фиксированных значений. Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, которая состоит из двух строк. В первой строке указываются конкретные значения вариантов в неубывающем порядке, а во второй строке — число выборочных значений с данным значением варианта (частоты):

Очевидно, сумма частот равна объему выборки п.

Если признак имеет непрерывное изменение, т. е. значения могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину и в определенных границах могут принимать любые значения (заработная плата рабочих, размер среднего душевого денежного дохода, стоимость основных фондов предприятия), то для этого признака нужно строить интервальный вариационный ряд. Таблица здесь также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от — до» (интервальные варианты), во второй — число выборочных значений, входящих в соответствующий интервал (частоты):

Основываясь на выборочном методе, математическая статистика решает следующие основные задачи:

• • статистическое оценивание неизвестных параметров распределений;
• • проверка статистических гипотез;
• • установление статистических зависимостей между случайными величинами.

Рассмотрим основные задачи математической статистики на примере исследования возможностей некоторого массового производства.

Пусть у нас имеется некоторое массовое производство и х_х, х₂,…, х_п представляют собой результат контроля изделий данного производства. При этом х, — полагается равным 1, если изделие дефектно, и 0, если исправно. Предположим, что среди изделий дефектных оказалось т. Если производство отлажено и действует в стационарном режиме, то выбранную часть мы рассматриваем как представителя всего массового производства, а ее статистическую характеристику, например долю брака  — как некоторое приближение к истинной доле брака, характеризующей все производство.

Допустим, нам требуется по значению т указать число р, которое можно принять за вероятность получения бракованного изделия р. Эти вопросы решает теория точечных оценок. В нашем случае естественно взять

Иногда нас не интересует точное значение р, а требуется указать интервал р<�р<�р, который с вероятностью, близкой к единице, покрывает параметр р. Мы приходим к задаче построения доверительных интервалов.

Из каких-либо априорных соображений мы можем предположить, что.

р = р₀, где р₀ — некоторое фиксированное значение. По отношению мы должны решить, справедлива ли гипотеза о том, что р = р₀, или нет. Таким образом, приходим к задаче проверки статистических гипотез.

Предположим, что стоит установить зависимость доли выпуска брака от профессиональной подготовленности рабочих. Очевидно, что тех данных, о которых говорилось выше, т. е. числа бракованных изделий в выборке, недостаточно. Необходимо иметь данные, которые несли бы информацию о том, кто изготавливает брак по уровню профессиональной подготовленности. Такие задачи относятся к задачам установления статистических зависимостей.

На всех перечисленных задачах мы остановимся подробно в дальнейшем.