Предельные теоремы в схеме Бернулли

Формула Бернулли в схеме независимых испытаний при больших п приводит обычно к громоздким вычислениям. Поэтому для вычисления соответствующих вероятностей важно иметь приближенные достаточно простые формулы. Такие формулы дают предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вероятностей P_n(k) и Р"(^т — М- - 0 при П —> оо.

Теорема 5.5 (предельная теорема Пуассона). Пусть р — число У в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р, тогда если п —" оо, а р —" 0 так, что пр = Х = const (остается постоянной), то

Доказательство. Имеем тогда.

Следствие 5.2. Из теоремы 5.5 следз’ет, что при больших п.

Замечание 5.8. Формула (5.5) дает так называемое пуассоновское приближение биномиального распределения. Она называется формулой Пуассона, или распределением Пуассона (распределением редких событий), и для него существуют таблицы (см. приложение, табл. П1).

Пример 5.5. Вероятность изготовления нестандартной детали равна р = 0,004. Какова вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных?

Решение. За успех примем У = {изготовление нестандартной детали}, тогда р = = Р (У) = 0,004. По формуле Бернулли.

Поскольку число испытаний велико, а вероятность успеха мала, то для нахождения вероятности воспользуемся приближенной формулой Пуассона.

В нашем случае X = 1000 • 0,004 = 4. По табл. П1 приложения для k = 5, X = 4 находим P₁₀₀₀{p = 5}"0,1563.

Замечание 5.9. Замена формулы Бернулли при больших п приближенной формулой Пуассона обеспечивает хорошую точность при npq < 9. Если же npq велико, то для вычисления P"(k) используется теорема Муавра — Лапласа.

Другими приближениями являются предельные теоремы Муавра — Лапласа, которые носят название нормального приближения биномиального распределения.

Теорема 5.6 (локальная теорема Муавра — Лапласа). Пусть р — число успехов в п испытаниях Берну ми с вероятностью успеха ()</;< 1, тогда

равномерно для всех k, удовлетворяющих неравенству где

aub — любые заданные постоянные числа, имеет место равенство

Следствие 5.3. При больших п имеет место приближенная локальная формула Муавра — Лапласа.

где  — четная функция, для которой составлены таблицы.

(см. табл. П2 в приложении).

Пример 5.6. Вероятность рождения мальчика — 0,51. Найдем вероятность, что среди 200 новорожденных будет 95 девочек.

Решение. Поскольку успехом является рождение девочки, то р = 1−0,51 = 0,49, <7 = 0,51. Подставляя значения в формулу (5.6), получим.

где значение ф (-0,28) найдено по табл. П2 приложения.

В предыдущих теоремах были получены формулы для приближенного вычисления вероятности того, что в п испытаниях Бернулли событие произойдет ровно k раз. Однако на практике часто нужно оценивать вероятность того, что число успехов лежит в некоторых границах. Эту оценку устанавливает следующая теорема.

Теорема 5.7 (интегральная теорема Муавра — Лапласа). Пусть р — число успехов в п испытаниях Бернулли с Р (У) = р, 0 < р < 1, тогда равномерно по всем, а и b таким, чтосо <�а< b < +оо, выполнено

где .

Доказательство. Обозначим через p_/if результат k-vo испытания и положим.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Тогда р/, — последовательность независимых одинаково распределенных СВ с конечными Мх_к = р и Dx_k = pq, при этом Применяя ЦПТ в форме (5.4), получим формулу (5.7).

Следствие 5.4. При больших значениях п имеет место приближенная интегральная формула Муавра — Лапласа

где  — функция стандартного нормального распределения.

Пример 5.7. Пусть вероятность того, что покупательнице магазина женской обуви необходима обувь 36-го размера, равна 0,3. Найдем вероятность того, что из 2000 покупательниц таких будет от 570 до 630.

Решение. Имеем

Тогда.

где значение Ф (1,464) найдено по табл. ПЗ приложения.

В качестве приложения интегральной теоремы Муавра — Лапласа оценим близость относительной частоты и вероятности успеха.

Теорема 5.8 (Бернулли). Пусть р — число успехов с вероятностью успеха р, 0 <�р < 1, тогда при Ve > 0 выполнено

Доказательство. В силу интегральной теоремы Муавра — Лапласа и свойств функции Ф (х) имеем.

Следствие 5.5. Из теоремы Бернулли следует, что.

Часто возникает обратная задача: сколько нужно провести испытаний, чтобы частота отличалась от вероятности р не более чем на в с вероятностью не меньшей р, т. е.

Используя формулу (5.8), получаем

Из таблицы функции Ф (х) найдем число Хр, для которого

Так как функция Ф (х) монотонно возрастающая, то откуда получаем

Пример 5.8. Какое число покупательниц должно посетить магазин, чтобы с вероятностью не меньше 0,99 отклонение доли покупательниц, нуждающихся в обуви 36-го размера, от соответствующей вероятности не превышало 0,04.

Решение. Имеем р = 0,3; q = 0,7; е = 0,04; (3 = 0,99;

Таким образом, магазин должны посетить не менее 874 покупательниц.