З А Д А Ч А № 5. Для балки на двух опорах, изготовленной из чугуна (рис. 9, б) , подобрать поперечное сечение

Для балки на двух опорах, изготовленной из чугуна (рис. 9, б), подобрать поперечное сечение (рис. 10) согласно варианту задания, приняв величину нормативного коэффициента запаса прочности [n] = 2,5. Механические свойства чугуна взять из табл. 2 Приложения.

Пример решения задачи № 4

Исходные данные: М₀ = 30 кН· м, F = 10 кН, q = 20 кН/м, а = 1 м, b = 2 м, материал — сталь 10 (рис. 11).

Решение:

Для построения эпюр разобьем балку на два участка.

Аналитические выражения поперечной силы Q и изгибающего момента М_z для каждого участка имеют следующий вид в соответствии с правилом знаков.

1-й участок: 0 x₁ a

.

При х₁ = 0:, М_z = 0.

При х₁ = а: кН,.

.

Определим экстремальное значение момента на 1-ом участке.

Для этого возьмем первую производную от изгибающего момента по x и приравняем ее нулю:

м.

Тогда кН· м.

2-й участок: 0 x₂ b

.

При х₂ = 0: кН, кН· м.

При x₂ = b: кН,.

Строим эпюры Q и M (см. рис. 11).

Проверка правильности построения эпюр.

В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

на эпюре Q будет скачок на величину приложенной силы F (сечение А, рис. 11);

на эпюре М будет скачок на величину приложенного момента М_{0 (сечение В, рис. 11).}

На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра Q ограничена наклонной прямой, а эпюра М — квадратичной параболой (участок АВ, рис. 11). При построении эпюры М на сжатых волокнах выпуклость параболы обращена навстречу стрелкам направления нагрузки q.

Эпюра Q представляет собой график производной от М.

На тех участках, где Q по длине участка равно нулю, момент имеет экстремальное значение.

На тех участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюра Q ограничена прямыми линиями, параллельными базовой, а эпюра М — наклонными (участок ВС, рис. 11).

Расчет на прочность при изгибе.

Условие прочности:, , .

Принимаем коэффициент запаса прочности n = 2. Материал — сталь 10. Из табл. 1 Приложения для стали 10. Тогда. С эпюры моментов:

.

Тогда .

Подбор размеров сечений:

а) круглое сечение. Осевой момент сопротивления круглого сечения. Из условия прочности.

;

б) кольцевое сечение (d/D = 0,5). Осевой момент сопротивления кольцевого сечения:

Из условия прочности:

Тогда внутренний диаметр кольца.

в) прямоугольное сечение (h/д =2).

Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения.

Нормальные максимальные напряжения возникают в точках максимально удаленных от нейтральной оси z (рис. 12).

.

Максимальные касательные напряжения возникают в точках, лежащих на оси z (см. рис.12).

.

где Q_{max=10 кН = 10 000 Н, h = 0,179 м, д = 0,0894 м,}

статический момент части площади поперечного сечения относительно оси z (рис. 12):

Эпюры нормальных и касательных напряжений показаны на рис. 12;

г) двутавровое сечение: используя таблицы прокатного сортамента из Приложения, выбираем по W_z = 476 см³ наиболее близкий номер двутавра. Выбираем двутавр номер 30, для которого: W_z = 472 см³, h = 30 см, b = 13,5 см, d = 0,65 см, t = 1,02 см, А = 46,5 см², J_z = 7080 см⁴, S_z = 268 cм³.

Максимальные напряжения будут равны.

.

Имеем перенапряжение, что допустимо.

Проверка прочности по максимальным касательным напряжениям:

по III теории прочности.

.

прочность обеспечена.

Проверка по теориям прочности в точке C на границе полки и стенки:

По III теории прочности (теория максимальных касательных напряжений) эквивалентные напряжения будут равны:

.

прочность обеспечена;

д) два швеллера (составное сечение):

Так как швеллера два, то.

Используя таблицы прокатного сортамента, выбираем по W_z = 238 см³ наиболее близкий номер швеллера. Выбираем № 24, для которого: W_z = 242 см³, h = 24 см, b = 9 см, d = 0,56 см, t = 1 см, J_z = 2900 см⁴, S_z = 139 cм³.

Тогда максимальные напряжения.

.

Имеем недонапряжение, что допустимо.

7. Сравним расход материала для выбранных поперечных сечений.

Объемный вес стали .

а) Круглое сплошное сечение: объем элемента конструкции.

где площадь сечения, длина элемента конструкции: тогда вес элемента конструкции.

б) Кольцевое сечение: объем элемента конструкции где площадь сечения.

длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции.

в) Прямоугольное сечение: объем элемента конструкции V = AЧl = 0,016 Ч 3 = 0,048 м³, где площадь сечения A = hЧд = 0,179 Ч0,0894 = 0,016 м², длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции.

• г) Двутавровое сечение № 30: по сортаменту вес погонного метра полученного двутавра равен 36,5 кГ, длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции
• д) Составное сечение из двух швеллеров № 24: по сортаменту вес погонного метра одного швеллера равен 24 кГ, длина элемента конструкции: тогда вес элемента конструкции

Анализ расхода материала показывает, что наиболее выгодным является двутавровое сечение. Наиболее невыгодное — круглое сплошное сечение.

Пример выполнения задачи № 5

Исходные данные: а = 1 м, в = 2 м, с = 3 м, М₀ = 10 кН•м, F = 20 кН, q = 20 кН/м, материал балки — серый чугун марки СЧ 36. Согласно таблице 2 Приложения,,. Сечение балки показано на рис. 13.

Решение

Определение реакций опор: .

; .

.; .

.

Проверка правильности определения реакций:

.

46,7 — 20•6 + 30 + 43,3=0, 120 — 120=0.

Реакции определены верно.

Данная балка имеет три участка (рис. 13).

Аналитические выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М_{z для каждого участка имеют следующий вид с соответствующим расчетом значений Q и Мz в характерных точках (начало и конец участка, экстремальные значения):}

1-й участок: 0? х₁? а,, .

При х₁ = 0; Q_y = R_A = 46,7 кН, М_z = 0.

При х₁ = а; .

2-й участок: 0? х₂? b,, .

При х₂ = 0; ,.

.

При x₂ = b; ,.

.

Определим экстремальное значение изгибающего момента М_{z на втором участке. Возьмем производную от выражения изгибающего момента на втором участке по x и приравняем к нулю. Координата положения экстремума xo определяется из условия равенства нулю поперечной силы Qy = 0.}

.

Тогда.

3-й участок: 0? х₃? с (идем справа налево):

При х₃ = 0;, M_z = 0.

При х₃ = c; = - 43,3 + 20•3 = 16,7кН.

.

Определим экстремальный момент на 3-ем участке:

.

.

.

Строим эпюры Q_{y и Мz (рис. 13).}

Проверка правильности построения эпюр производится аналогично задаче 4.

По условию задачи сечение балки имеет вид тавра (рис. 14).

Определим положение главных центральных моментов инерции для чугунной балки (рис. 14): а) выбираем исходную систему координат y и z.

Показываем собственные центральные оси каждой фигуры y_{i и zi параллельно выбранным осям y и z.}

Определим расстояние между параллельными осями y_{i и y, zi и z.}

Вычислим статические моменты инерции относительно осей у и z.

Определение положения центра тяжести сложной фигуры.

б) проводим через центр тяжести оси у_{0 и z0.}

Определим главные центральные осевые J_{zo, Jyo и центробежный моменты инерции Jyozo. Для этого определим расстояние между центральными осями у0, z0 и собственными центральными осями у}

• 1-й участок:
• 2-й участок:

Канонические уравнения метода сил:

Вычисляем коэффициенты и свободный член:

Проверка правильности решения:

а) каждое уравнение системы должно тождественно удовлетворяться при подстановке X_{i .}

Для последующей проверки нужно построить результирующие эпюры ВСФ для эквивалентной системы с известными величинами реакций опоры X_{1, X2 (рис. 35).}

• 1-й участок: эпюры на рис. 36.
• 2-й участок:

Определим.

б) продолжаем проверку правильности вычислений. Перемещения в направлении X_{i должны быть равны нулю.}

Аналогично для допускается одна суммарная проверка вместо двух представленных выше:

Подбор сечения двутавра производится в опасном сечении по величине изгибающего момента:

Выбираем двутавр № 18:

масса 1 м = 18,4 кг.

Угол поворота в точке С:

сравнение спроектированных статически определимой и неопределимой систем: