Числовые характеристики n-мерного случайного вектора

Для описания «-мерного случайного вектора используют следующие числовые характеристики:

• 1) п математических ожиданий которые определяют координаты цен тра распределения;
• 2) п дисперсий D^, Т>^₂,…, D^_n, которые характеризуют рассеивание;
• 3) п (п — 1) ковариаций k^ = М[(?, — — М^_;)], i Ф j.

Удобно все ковариации и дисперсии записывать в виде матрицы, которую называют ковариационной:

Так как ky — kj_h то матрица (4.22) симметрична относительно главной диагонали.

Если случайные величины (?₁₍?₂,…,!;") попарно некоррелированы, т. е. kjj = 0 при г Ф j, то матрица (4.22) имеет диагональный вид:

Часто вместо ковариационной матрицы используют матрицу коэффициентов корреляции (корреляционную матрицу):

Замечание 4.9. Если СВ? i,?₂> •••>?" попарно некоррелированы, то т. е. является единичной матрицей.

4.10. Многомерный нормальный закон распределения

Определение 4.14. Система случайных величин (^, р) называется распределенной по двумерному нормальному закону, если ее совместная плотность имеет вид.

где

Плотность ц>(х, у) нормального распределения представляет собой холмообразную поверхность (рис. 4.2).

Рис. 4.2. График плотности двумерного нормального распределения.

Найдем условную плотность вероятностей СВ и р:

Таким образом, каждый из условных законов распределения случайных величин ^ и р является нормальным с условным математическим ожиданием и дисперсией, определяемыми по формулам.

Из этих формул следует, что линии регрессии Л/(с/г|) = /(ц) и М (рД) = =?'(<;) нормально распределенных случайных величин представляют собой прямые линии, т. е. нормальные регрессии р, но <; и ?, по р имеют линейный вид.

Теорема 4.2. Если две нормально распределенные случайные величины б, и р некоррелированы, то они независимы.

Доказательство. По условию г = 0, тогда из формулы (4.24) (р (х, у) = ф (дг) • ф(у). Следовательно, СВ с, и р независимы.

Таким образом, для нормального распределения условия некоррелированности и независимости случайных величин равносильны.

Определение 4.15. СВ ,|₂>—>?_п) называется распределенной по пмерному нормальному закону, если ее совместная плотность имеет вид.

где а = (й[,…, й") — вектор математических ожиданий; a_t = ЛДс,); х = (х,…, х") — вектор переменных; к — определитель ковариационной матрицы К а К~^] — матрица, обратная ковариационной.