Основы моделирования. 
Методология научных исследований

Всякая точная наука основывается на приблизительности.

Б. Рассел

Для применения эмпирических методов исследования в любой области, как правило, требуется построить ту или иную модель процесса или изучаемого явления. Моделью могут служить искусственно создаваемые мысленный или физический аналоги данного процесса или явления. Модель конструируется субъектом исследования таким образом, чтобы отобразить характеристики и свойства объекта, взаимосвязи между его элементами, структурные и функциональные параметры.

В большинстве научных исследований, особенно связанных с изучением сложных систем, под моделью понимают совокупность математических зависимостей и логических правил, позволяющую по определенным исходным данным с достаточной полнотой и точностью описывать наиболее существенные процессы, присущие исследуемому процессу или явлению, прогнозировать возможный ход процесса и достижение целей его функционирования.

Построение модели является ключевым звеном моделирования [33].

Вначале исследователь должен дать исчерпывающую постановку задачи, даже если очевидно, что в таком виде она не поддается решению. Затем может быть принят ряд допущений, позволяющих упростить модель.

Для разработки модели важным вопросом является степень ее детализации. Степень детализации не является показателем ее адекватности процессу функционирования реальной системы. Значительно важнее, чтобы разрабатываемая модель не оказалась «сметенной», т. е. такой, в которой не учтен какой-либо существенный и постоянно действующий фактор. В среднем модель должна обеспечивать приемлемую точность предсказания результата функционирования системы.

Первый этап процесса построения модели связан с формализацией задачи исследования. С этой целью определяют показатели эффективности, которые служат для оценки конкретных решений исследуемой проблемы, и их предельные значения, позволяющие определить область рациональных решений и выбрать искомую альтернативу. Должна быть также определена область применения модели и ограничения, оказывающие влияние на процесс функционирования.

Второй этап разработки модели связан с определением переменных, которые могут изменяться управляющим органом. Следует определить все учитываемые параметры, оказывающие влияние на достижение цели функционирования системы, в том числе и внешние факторы, чтобы точно разделить эти переменные на заданные и такие, которые можно рассматривать в качестве управляемых.

Третий этап заключается в формализации основных процессов функционирования системы, которая состоит в описании их совокупностью функций, аргументов и констант, которые определяют значения переменных и соотношения между ними. Во многих случаях удается описывать сложные процессы функционирования достаточно простыми способами.

В общем случае модель выражает взаимосвязь между управляемыми переменными, неуправляемыми переменными, технологическими параметрами и показателями эффективности. Пусть, например, в модели используется следующая совокупность величин:

д:/ — /-я управляемая переменная;

cj — /-я неуправляемая переменная;

^ак ^vk~k-e параметры функционирования системы или константы;

W_r— r-й показатель эффективности.

Тогда в символической записи модель можно представить в виде функции или множества функций / связывающих показатель эффективности W_r с переменными и параметрами х, cj, ay

В данной записи показатель представлен в виде явной функции от других параметров, однако это не является обязательным условием.

На конечном этапе построения модели должна быть дана точная аналитическая формулировка проблемы рассматриваемой системы.

В соответствии с задачей исследования формализуется и целевая функция. Например, уравнение целевой функции и система ограничений по максимизации показателя эффективности могут иметь следующий вид:

где с/ — эффективность, получаемая от реализации ресурса /-го вида; х;— количество выделяемого ресурса /-го вида в натуральных измерениях; V/ - затраты на создание запаса ресурса /-го вида на рассматриваемый период времени; я* - к-е возможности по созданию запаса ресурсов всех видов.

Существует несколько типов соотношений, которые могут формировать модель. Прежде всего, это соотношения, вытекающие из определений. Они представляют аналитическое выражение физических законов или общепринятых правил. Соотношения такого рода выводятся достаточно просто и, как правило, почти совсем не требуют анализа данных. Эмпирические соотношения также характеризуют взаимосвязи между двумя и более переменными. Они выводятся на основе изучения данных за прошедший период, анализа технических аспектов, экспериментальных данных или даже на основе обоснованных предположений. Построение и использование зависимостей такого рода может быть затруднено двумя обстоятельствами. Во-первых, имеющиеся данные ретроспективного характера могут оказаться непредставительными для вывода соотношений, характеризующих рассматриваемую систему в новых условиях. А во-вторых, эмпирические соотношения могут выводиться на основе данных, которые относятся к характеристикам функционирования системы, не отвечающим требуемому уровню эффективности. Третий вид соотношений — это соотношения нормативного характера, т. е. такие, которые устанавливают, как переменные должны быть связаны между собой, а не то, как они были связаны в прошлом. Эти соотношения могут быть результатом тех требований, которые предъявляются к системе в новых условиях.

Исследования, которые проводятся не на реальном объекте, а на его искусственном аналоге, в некоторой степени отличном от реального, называются моделированием.

Моделирование представляет собой процесс построения условного образа исследуемой системы (объекта, явления) и определенных действий с нею, осуществляемых с целью отображения наиболее существенных параметров функционирования и развития системы в будущем.

Моделирование в эмпирических исследованиях выполняет ряд важных функций, в том числе: дескриптивную, прогностическую и нормативную.

Дескриптивная функция, основываясь на методе абстрагирования, позволяет достаточно просто описать и объяснить исследуемые процессы или явления. Успешные дескриптивные модели обычно становятся компонентами научных теорий и являются средством отражения их содержания.

Прогностическая функция отражает возможность моделирования предсказывать будущие свойства и состояния моделируемых систем.

Нормативная функция позволяет получить ответ на вопрос «как должно быть?», если помимо состояния системы заданы критерии оценки ее состояния.

Независимо от целей и задач моделирования создаваемая модель должна соответствовать следующим требованиям:

• — точно отражать структуру и процессы функционирования моделируемой системы, иметь, по возможности, минимальные допущения при описании;
• — несмотря на то что число параметров должно быть адекватно сложности системы, модель должна быть достаточно простой, поскольку для удобства экспериментирования невозможно и нецелесообразно фиксировать все многообразие ее свойств и условий функционирования;
• — быть хорошо приспособленной к окружающей среде функционирования аналога (ингерентной) и совместимой с нею;
• — обязательно содержать параметр оптимизации как цель моделирования.

Процесс моделирования включает, как правило, следующие этапы.

Первый этап — построение модели и оценка ее адекватности. Важнейший вопрос данного этапа — оценка степени соответствия модели реальному объекту, сходимость модели и оригинала, поскольку углубленное изучение одних сторон объекта обычно осуществляется ценой отказа от исследования других. Поэтому любая модель способна замещать оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Следовательно, для одного объекта может быть построено несколько частных моделей, каждая из которых отображает с разной детальностью одну из сторон объекта. Такие модели могут быть объединены определенным правилом в комплексную модель либо использоваться для исследования автономно. Одновременно с разработкой модели необходимо выбрать или разработать численный метод решения.

Второй этап — обычно связан с разработкой программ для ЭВМ. Современные методы и среды программирования обычно ориентированы на профессиональных программистов, а не на пользователя, исследующего сложную систему. На него, как правило, возлагается задача разработки технического задания для программирования. Эту работу следует проводить тщательно и аккуратно, с тем чтобы программное обеспечение, особенно в части входных и выходных форм, было полностью ориентировано на пользователя.

Третий этап — разработка алгоритма моделирования и механизма измерения входных и выходных параметров, а также параметров внешних и внутренних факторов, оказывающих воздействие на модель.

Четвертый этап — серия экспериментов на модели. При этом сознательно меняются условия поведения объекта-оригинала и систематизируются данные о реакции (отклике) объекта. Конечной целью этапа является получение множества знаний о поведении объекта исследования.

Пятый этап — теоретический перенос знаний с модели на оригинал, формулирование выводов. Он включает выбор правил оценки и обработки результатов. Проводится анализ результатов моделирования и сопоставление их с чисто теоретическими прогнозами, а при возможности — с результатами натурного эксперимента. При этом могут быть скорректированы знания о модели с учетом свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения при построении модели (или были учтены неадекватно). При необходимости разработанная модель уточняется, и цикл вычислительного эксперимента повторяется.

Шестой этап — практическая проверка качества отображения, полученного с помощью модели, его непротиворечивости, чувствительности.

адекватности и точности модели для использования при построении теории поведения объекта либо его преобразования.

Непротиворечивость модели заключается в проверке того, не противоречат ли результаты логике при вариации величин основных параметров, особенно если их значения близки к экстремальным.

Чувствительность состоит в проверке соответствия изменений выходных результатов моделирования небольшим изменениям входных переменных параметров.

Адекватность заключается в установлении соответствия результатов, выдаваемых моделью, частным случаям, для которых имеются фактические данные.

Седьмой этап — использование полученных данных для построения теории поведения объекта.

Таким образом, от реального объекта, выбранного на первом этапе, следует вновь вернуться к нему. Моделирование — это циклический процесс, в котором научные знания об исследуемом объекте расширяются с использованием модели, а модель совершенствуется. Новые качества объекта должны найти отражение в модели. Обновленная модель становится средством последующего углубления знаний об объекте.

Эмпирические исследования могут осуществляться с моделями разных типов: натурных, физических, математических, имитационных, концептуальных и детальных. Эта типологизация не претендует на абсолютную полноту. Например, ряд авторов предлагает классифицировать модели по функциональному признаку: структурные, управленческие, функциональные, эксплуатационные, информационные, обеспечения, взаимодействия и др.

Натурные модели — это модели, воспроизводящие основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики оригинала. На таких моделях изучаются процессы, происходящие в оригинале объекта исследования или разработки, например процесс износа дорожного полотна в процессе эксплуатации. Если модель и моделируемый объект имеют одну и ту же физическую природу, то говорят о физических моделях.

Функциональные модели — формальное отображение состава, процессов и отношений между отдельными специализированными элементами системы по признаку выполняемых ими функций. Функциональные подсистемы, выделяясь по выполняемым функциям, имеют единую, целевую направленность.

Абстрактные модели являются идеальными, как правило, вербальными конструкциями, построенными средствами мышления, сознания с использованием языков разных уровней специализации.

Структурные модели представляют собой формальное отображение инвариантных связей и отношений между элементами и подсистемами системы в виде графа, вершинами которого являются элементы системы, а дугами — связи между ними.

Информационные модели — это формальное отображение физических и прагматических процессов информационного обмена и описание содержательной (семантической) информации с помощью набора показателей, параметров, т. е. перевод информации из ее логического представления в физическое.

Поскольку объектом исследования все чаще становятся системы, физическое экспериментирование с которыми невозможно или крайне затруднено, то важнейшим инструментом количественных методов исследования в любой области выступает математическое моделирование. Его суть заключается в том, что исходный объект изучения заменяется его математической моделью, экспериментирование с которой возможно при помощи программ, разработанных для ЭВМ. Вид разрабатываемой математической модели зависит от природы реального объекта, задач исследования, требуемой точности и достоверности результатов экспериментирования. При этом общих способов построения математических моделей не существует. Необходимо отмстить, что любая математическая модель, как и другие, описывает исследуемый объект лишь с некоторой степенью приближения. Поэтому чем удачнее будет подобрана математическая модель, тем лучше она будет отражать цели исследования и тем более обоснованными будут его результаты. По возможности математическая модель должна быть относительно простой, без излишней детализации второстепенных факторов и условий.

В каждом конкретном случае модель выбирается с учетом задачи исследования. При разработке математической модели следует учитывать ряд особенностей, отличающих ее от общей схемы моделирования:

• — при построении модели реальное явление неизбежно упрощается, схематизируется, и эта схема описывается с помощью того или другого математического аппарата;
• — определяя предмет и цели моделирования следует как можно четче установить границы исследуемого объекта, что позволит определить ограничения математической модели;
• — определить переменные, описывающие состояние системы и существенные параметры внешней среды, которые необходимо учитывать, а также шкалы их измерения и критерии оценки;
• — соразмерять точность и детализацию модели с требуемой точностью и с исходной информацией, которой мы можем располагать;
• — выбрать подходящий для формализации математический аппарат в виде некоторых функциональных соотношений различной сложности (в простых случаях — алгебраических, в более сложных ситуациях применяется аппарат дифференциальных уравнений, в наиболее сложных случаях — методы исследования операций и метод статистического моделирования);
• — определить связи между переменными, с учетом всей информации о моделируемом объекте, а также известные законы и закономерности, его описывающие;
• — исследование модели осуществлять как имитационное и/или как аналитическое с применением методов оптимизации.

Математическое моделирование лежит и в основе имитационного моделирования. Имитационные модели строятся по аналогии с объектом исследования при использовании статистических методов. Для моделирования в случайных условиях был разработан метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), основная идея которого состоит в моделировании случайных явлений посредством реализации «розыгрышей». Результаты такого моделирования обрабатывают с использованием ЭВМ.

Имитационное моделирование позволяет исследовать отдельные состояния динамики поведения моделируемого объекта. При этом фиксируется начальное состояние объекта или параметры модели и рассчитывается один вариант развития случайного процесса со случайным ходом и исходом. Затем выбирается другое начальное состояние случайного процесса и рассчитывается другой исход. В единичном опыте решается один из вопросов: произошло или не произошло событие А; какое из возможных событий А, В, С,… произошло; какое значение приняла случайная величина X. По результатам имитационного моделирования в целом, которое основано на математическом законе больших чисел, определяются тип и параметры распределения случайных величин.

Сама по себе одна такая реализация не дает оснований к выбору решения, но получив множество таких реализаций, они обрабатываются как обычный статистический материал, что позволяет найти средние характеристики процесса и получить представление о том, как в среднем влияют на них условия и элементы исследуемого процесса.

Достоинство имитационного моделирования состоит в том, что оно позволяет проанализировать динамику их состояний (исходов) даже для очень сложных моделей. Его основной недостаток состоит в отсутствии возможности получения, например, ответа на вопрос, при каких значениях начальных условий и параметров модели динамика системы будет удовлетворять заданным требованиям. Кроме того, обычно затруднителен анализ устойчивости имитационных моделей.

Наиболее важным в имитационном моделировании является принцип случайности появления значений части параметров и соответствия реализации модели в целом. Имитационное моделирование может быть применено и для прогноза возможного состояния системы, ее динамики, изменения влияний внешней среды и т. д.