Схемы интегрирования и дифференцирования

Схема интегратора может строиться как на основе инвертирующего, так и на основе неинвертирующего усилителя. На рис. 2.16, а показана схема интегратора на основе инвертирующего усилителя.

В цепи обратной связи вместо резистора включается конденсатор. Как известно, конденсатор заряжается током, который на основании двух допущений (см. рис. 2.14, а) равен:

Как известно из основ электротехники, ток, заряжающий конденсатор, определяется производной от разности напряжений на его обкладках, т. е.:

а учитывая первое допущение (U_A = 0):

Приравняв оба выражения для тока /_с, получим:

Рис. 2.16. Схемы интегрирования (я), дифференцирования (б).

и форма выходного напряжения при изменении входного напряжения скачком от нуля (в) Интегрируя это выражение, получим:

Таким образом, выходное напряжение схемы пропорционально интегралу от входного напряжения. Значения сопротивления и емкости определяют постоянный коэффициент схемы интегрирования, что можно объяснить и с чисто физических соображений. Чем больше R и С, тем меньше ток, заряжающий конденсатор, и тем больше величина его емкости, поэтому заряд конденсатора, а следовательно и выходное напряжение, будут нарастать медленнее. При подаче на вход интегратора скачка напряжения на выходе будет наблюдаться медленный рост выходного напряжения, наклон прямой графика определяется постоянной времени интегрирования Г_и= RC (рис. 2.16, в).

Чтобы иметь схему, обеспечивающую вычисление интеграла с высокой степенью точности, используют усилители с малыми входными токами и дрейфом напряжения смещения нуля, высокоточные резисторы и конденсаторы с малыми токами утечки.

Пример 2.5.

Рассчитать схему интегратора с постоянной времени интегрирования Г_н =10 мс, если источник сигнала имеет внутреннее сопротивление 150 Ом, а коэффициент искажения е не должен быть выше 1%. Погрешность интегрирования не должна быть выше 5%.

Решение. Примем в качестве базовой схему интегратора (рис. 2.16, а). Для обеспечения высокой точности интегрирования будем использовать прецизионный операционный усилитель К574УДЗ с полевыми транзисторами во входных каскадах, имеющий малое напряжение смещение нуля (5 мВ), низкий входной ток (0,5 нА) и малый дрейф напряжения смещения нуля (5 мкВ/К). Для компенсации напряжения смещения нуля применим стандартную схему балансировки, заключающуюся в подключении к выводам балансировки операционного усилителя переменного резистора номиналом 3…5 МОм, средний вывод которого подключается к +t/_nHT. В качестве пассивных элементов применим прецизионные резистор Р1−2Р и конденсатор К10−68 с погрешностью номинала 1%.

Минимальное сопротивление резистора R, задающего ток заряда конденсатора, составит с учетом коэффициента искажения:

Емкость конденсатора определим исходя из заданной постоянной времени интегрирования:

Рассчитанная величина емкости конденсатора оказывается более чем в 15 раз выше максимального номинала конденсатора К10−68 (0,0442 мкФ), в связи с чем возникает необходимость в увеличении величины сопротивления резистора и пропорциональном уменьшении емкости конденсатора. Возможное увеличение величины сопротивления оценим на основе анализа величины входного тока операционного усилителя. Очевидно, что входной ток усилителя должен быть существенно меньше рабочего тока заряда конденсатора.

Рассчитаем номинал резистора, обеспечивающий заданную постоянную времени интегрирования с конденсатором номиналом 0,0442 мкФ:

В соответствии с рядом предпочтительных номиналов Е96, используемого для прецизионных резисторов и конденсаторов с погрешностью номинала 1%, резистор будет иметь номинал 226 кОм. Так как заданная погрешность интегрирования 5%, будем считать, что погрешность от входного тока операционного усилителя должна быть на порядок меньше, т. е. 0,5%. Определим диапазон входных напряжений, для которых будет выполняться поставленное условие.

Таким образом, погрешность, вносимая входным током операционного усилителя, для входного напряжения 22,6 мВ составит 0,5%. Для более высоких входных напряжений она будет ниже.

Поменяв местами сопротивление и конденсатор в интеграторе (см. рис. 2.16, а), получим схему дифференцирования (рис. 2.16, б). Ток конденсатора (с учетом, что U_A = 0):

а ток в цепи обратной связи по закону Ома:

Согласно второму допущению эти токи можно считать равными, т. е.: откуда:

Таким образом, выходное напряжение в схеме пропорционально первой производной от входного напряжения.

Многие задачи описываются простыми дифференциальными уравнениями. Такие задачи можно решить, реализуя исходное дифференциальное уравнение с помощью аналоговых интегрирующих схем и измеряя установившееся выходное напряжение. Обычное дифференциальное уравнение — это зависимость функции у и ее производных от переменной х. Например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит следующим образом:

Для решения уравнения производят замену переменной х на время ?, т. е. х = ?/т. Тогда первая и вторая производные равны:

Путем таких преобразований дифференциальное уравнение приводится к виду, которое может быть реализовано на основе схем интегрирования:

или.

Интегрируя левую и правую части уравнения, получим:

Выражение, стоящее справа, реализуется с помощью интегратора. Обозначим его выходной сигнал переменой z, тогда:

С использованием переменной г уравнение преобразуется к виду

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Правая часть этого уравнения, так же как и в предыдущем случае, реализуется с помощью интегратора. Его выходной сигнал соответствует функции -у. Сигнал z поступает с выхода предыдущего интегратора, а сигнал -к_ху — через обратную связь с собственного выхода.

Таким образом, для реализации дифференциального уравнения второго порядка требуется два интегратора и один инвертирующий усилитель (рис. 2.17). Инвертирующий усилитель нужен для изменения знака сигнала со второго интегратора, формирующего -у. Выходной сигнал с этого усилителя с коэффициентом k₀ подается на вход первого интегратора.

Рис. 2.17. Аналоговая схема решения дифференциального уравнения.