Представление тензора в новой координатной системе

Переход в новую СК определяется для тензора правилом (1.11). Важно отметить, что здесь в качестве тензорного объекта рассматривается именно совокупность трех векторов, а не просто три произвольных вектора. При переходе в новую координатную систему произвольный вектор как объект оставался неизменным, а изменялись его координаты, причем таким образом, чтобы основные свойства вектора его длина и направление — оставались неизменными. В случае тензорного объекта при переходе в другую СК претерпевают изменения сами вектора, изменяются и их длины и направления в пространстве в соответствии с правилом (1.11).

Закон вычисления числовых характеристик теперь становится более сложным, нам нужно вывести правила преобразования девяти числовых характеристик — проекций грех векторов — в девять новых числовых характеристик — проекций новых трех векторов, представляющих тензор в новой системе координат.

При переходе к новой СК каждый из векторов тензора в соответствии с законом преобразования (1.11) будет в общем случае изменять как свою величину, так и направление в пространстве (рис. 1.5). Однако при таком преобразовании будут сохраняться, как мы увидим ниже, некоторые характеристики тензора так называемые инварианты. Этот факт отражает независимость свойств той физической характеристики, которая представляется тензором, от нашего произвола в выборе СК для ее описания.

Рис. 1.5. Изменение совокупности векторов, представляющих тензор, при переходе в новую систему координат.

Нетрудно убедиться, что закон преобразования векторов, составляющих тензор, при переходе в новую систему координат (1.11) может быть записан с использованием матрицы преобразования координат в следующей форме:

Это соотношение имеет векторную форму. Чтобы привести его в координатную форму, нужно вектора, входящие в правую часть, представить в новой СК:

Если подставить эти соотношения в (1.14), то преобразование компонентов тензора представится в виде следующего матричного преобразования:

То есть, компоненты матрицы тензора в новой СК выражаются через матрицу компонентов тензора в старой с помощью умножения ее слева на матрицу направляющих косинусов, а справа — на транспонированную матрицу.

Если приведенную выше запись применить к компонентам матрицы тензора, то индексная форма зависимости преобразования компонентов тензора при переходе в новую систему координат примет ВИД p^i = Oikr&lmPrm•.

Следует обратить внимание в данной записи на два немых индекса. Здесь подразумевается двойное суммирование, каждый компонент тензора в новой системе координат представляется через линейную комбинацию всех девяти компонентов в старой:

В дальнейшем мы систематически будем использовать правило о суммировании по повторяющемуся индексу, поэтому следует внимательно относиться к форме записи выражений, содержащих индексы.

Более общими являются тензоры, не связанные требованиями ортогональности и прямолинейности осей координат. В этом случае теория таких объектов усложняется, но позволяет значительно большую общность. Примерами таких объектов являются метрический тензор, ковариантный и контравариантный тензоры.