Определение мультиколлинеарности. 
Эконометрика

Основной признак обнаружения мультиколлинеарности

Внешним признаком наличия мультиколлинеарности служат слишком большие значения элементов матрицы (Х^ТХ)~¹. Подробнее определение матрицы (Х^ТХ) ^Х и ее использование см. в гл. 4, параграф 4.2.

Основной признак мультиколлинеарности: определитель корреляционной матрицы R_{x x}. близок к нулю. Если все объясняющие переменные некоррелированы между собой, то R_XjX. | = 1, в противном случае 0 < | R_x._x. | < 1.

Существует несколько признаков, по которым может быть установлено наличие мультиколлинеарности.

• 1. Коэффициент детерминации К² достаточно высок, высокая f-статистика, но некоторые (иногда все) из коэффициентов уравнения множественной линейной регрессии статистически незначимы (имеют низкие 7-статистики).
• 2. Высокие парные коэффициенты корреляции и высокие частные коэффициенты корреляции.

Определение 7.1. Частным коэффициентом корреляции называется коэффициент корреляции между двумя объясняющими переменными, «очищенный» от влияния других переменных.

Например, при трех объясняющих переменных Х_1у Х₂, Х₃ частный коэффициент корреляции между Х_{ и Х₃, «очищенный» отХ₂, рассчитывается по формуле.

Замечание 7.2. Частный коэффициент корреляции может существенно отличаться от «обычного» (парного) коэффициента корреляции. Для более обоснованного вывода о корреляции между парами объясняющих переменных необходимо рассчитывать все частные коэффициенты корреляции.

Общее выражение для определения коэффициента частной корреляции.

где Cjj — элементы матрицы С = R~^x — матрицы, обратной к матрице межфакторной парной корреляции R_VjX. (7.1).

• 3. Сильная регрессия между объясняющими переменными. Какая-либо из объясняющих переменных является комбинацией других объясняющих переменных (линейной или близкой к линейной).
• 4. Знаки коэффициентов регрессии противоположны ожидаемым из экономических предпосылок.
• 5. Добавление или удаление наблюдений из выборки сильно изменяет значения оценок.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих вышесказанное.

Пример 7.4.

На объем выпуска продукции у оказывают влияние следующие основные факторы: х_х — количество сотрудников, работающих па предприятии; х₂ — стоимость основных фондов; х₃ — средняя заработная плата сотрудников. Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид у = b₀ + b_{x_x + b₂x₂ + b₃x₃.

Матрица коэффициентов парной корреляции для данной модели.

Определитель матрицы |Д | = 0,302. В этой модели факторы и х₂, а также х_{ и х₃ связаны слабо, напротив, факторы х₂ и х₃ связаны сильно: г^_з =0,8. Возможно, сильная связь между факторами х₂ и х_л объясняется тем, что на дорогом оборудовании работают высококвалифицированные рабочие, имеющие более высокую заработную плату.

Парные коэффициенты корреляции результирующей переменной с факторами оказались равными: т_уГ| =0,7; г_ух.^ =0,8; г_ухз =0,75. Полная матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид.

Все факторы оказывают заметное влияние на результат. Так как в модель регрессии должны быть включены факторы, тесно связанные с результатом и слабо связанные друг с другом, то в данном примере подходят одновременно две модели регрессии: у, = f (x_vх₂)и у₂ = f (x_vx₃).

Пример 7.5.

Выясним наличие мультиколлинеарности для выборочных данных, приведенных в табл. 7.2.

Исходные данные для примера 7.2.

Таблица 7.2

Решение. Парные коэффициенты корреляции, рассчитанные по формуле (7.2), приведены в табл. 7.3.

Таблица 73

Парные коэффициенты корреляции.

Из данных, приведенных в таблице, ясно, что есть сильная корреляция между переменными .Г[ и х₂. Коэффициенты парной корреляции можно также определить, используя средство «Пакет анализа» Microsoft Excel (инструмент «Корреляция»),.

Проверим корреляцию между объясняемой и объясняющими переменными, для этого воспользуемся инструментом «Корреляция» Microsoft Excel (можно рассчитать коэффициенты корреляции г_Х1/, используя формулу (7.2)). Результаты представлены на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Результаты расчета корреляции между объясняемой и объясняющими переменными в Microsoft Excel.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции, но формуле (7.4), так как в этом примере всего три объясняющие переменные (можно найти частные коэффициенты корреляции и по формуле (7.5), предварительно найдя обратную матрицу С= R ^{):

Наибольшим оказался частный коэффициент корреляции между переменными х_х их₂. Частный коэффициент корреляции г_ХхХ^_Х2 самый меньший и противоположный, но знаку парному коэффициенту г_{х х} .

Ответ. В модели присутствует сильная корреляция между переменными х_х и х₂.