Параболическая аппроксимация. 
Информатика.

В том случае, если экспериментальные данные не удается с достаточной степенью точности аппроксимировать линейным полиномом, применяют аппроксимацию второго и большего порядков. Такая аппроксимация называется нелинейной. Рассмотрим случай многочлена 2-й степени.

Как и в случае линейной аппроксимации, коэффициенты о, определяются по методу наименьших квадратов. Запишем квадратичное отклонение.

Приравняем к нулю частные производные:

Выполнив преобразования, получим систему линейных уравнений с тремя неизвестными (по, ^а, я₂):

Введем обозначения:

С учетом принятых обозначений система (5.34) будет иметь следующий вид:

Определим неизвестные коэффициенты а₀, а_и а₂:

Необходимое условие: определитель системы.

Пример 5.7. Дана табличная зависимость у от х (табл. 5.7). Необходимо построить аппроксимирующий полином в видеу=а₀+й1 -х+а₂-х².

Таблица 5.7.

Xi	yt
VO. II. СО.	со. II.	Со. II.	& = 36.	53 = 98.	56 = 26.	57 = 64.

Эта система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных а₀, а_и а₂. Определитель системы не равен 0, т. е. существует единственное решение:

Запишем аппроксимирующее уравнение с учетом найденных коэффициентов: . Проведем оценку правильности полученного уравнения (табл. 5.8, рис. 5.9).

Таблица 5.8.

i	Xi
			1,05.	— 0,05.
			2,85.	0,15.
			4,15.	— 0,05.
			4,95.	0,05.

Рис. 5.9

Пример 5.8. Дана зависимость теплоемкости циклопропана от температуры.

Аппроксимировать экспериментальные данные полиномом второго порядка (5.31). Для чего определяем коэффициенты а₀, ct, а₂ по формулам (5.37). Блок-схема параболической аппроксимации второго порядка приведена на рис. 5.10.

В результате решения получаем уравнение для расчета теплоемкости циклопропана:

Результаты расчета приведены в табл. 5.9.

Таблица 5.9.

т
	13,37.	13,44.	0,07.
	13,44.	13,54.	0,01.
	18,31.	18,24.	0,07.
	22,65.	22,40.	0,25.
	26,15.	26,03.	0,12.
	29,02.	29,12.	0,10.
	31,45.	31,68.	0,23.
	33,57.	33,70.	0,13.
	35,39.	35,19.	0,20.

Рис. 5.10. Блок-схема параболической аппроксимации

Вопросы для самоконтроля

]. В чем состоит задача о приближении функции?

• 2. В каких случаях возникает задача интерполирования?
• 3. Постановка задачи интерполирования?
• 4. Какие методы интерполирования применяются в практике инженера?
• 5. Для чего рассчитываются конечные разности?
• 6. В чем суть метода Лагранжа?
• 7. В чем особенность применения методов Ньютона?
• 8. Какие формулы Ньютона известны и в чем состоит особенность их применения?
• 9. В чем состоит отличие аппроксимации от интерполяции?
• 10. Какие методы наиболее часто применяются в практике инженера и чем это обусловлено?
• 11. Перечислить ситуации, когда предпочтительнее применение метода аппроксимации.
• 12. В чем суть метода наименьших квадратов и для определения каких параметров он применяется?
• 13. В каких случаях применяется линейная аппроксимация?
• 14. В каких случаях применяется параболическая аппроксимация?