Сущность различных систем счисления

Вначале проанализируем различия между цифрами и числами: число это абстрагированная от конкретики запись количества (например, число 25 это двадцать пять предметов чего угодно и не только предметов, а, скажем, лет или килограммов), а цифра это специальный знак для обозначения количества единиц. Следует обратить внимание, что цифры это тоже записи чисел, например 8 это не только цифра, но и число.

Слово «цифра» происходит от позднелатинского слова «cifra», первые цифры появились у египтян и вавилонян, причем интересно, что цифры, как специальные знаки, образовались позже, чем буквы. Так, многие народы (греки, финикияне, евреи, сирийцы) для цифр использовали буквы алфавита, в России аналогичная система применялась вплоть до XVI века. Современные так называемые «арабские цифры» имеют неясное происхождение, например, утверждают, что они принесены в Европу арабами в XIII веке возможно из Индии. Повсеместно их стали использовать с XV века.

Число это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики; оно появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем, абстрагировавшись, стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4… и т. д. Для наших целей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В частности, задачи измерения площадей привели к понятию рационального (дробного) числа, затем появились отрицательные числа, необходимость в вычислении отношения диагонали квадрата к его стороне привела к открытию иррациональных чисел, рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел и т. д. И лишь в XIX веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.

Известно, что числовая ось бесконечна, поскольку к каждому числу можно прибавить еще единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом понятно, что придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально.

Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольких систем счисления.

Счисление (система счисления) это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу.

В этом определении стоит выделить следующие важные моменты.

Количество знаков, которые обычно именуются «цифрами», всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (обычно мы используем десять цифр) удается записывать произвольные числа, например 23 456 или 1 000 123 456 789.

Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется «позиционным».

Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом.

Другими словами, значение цифры «переменчиво» и зависит от ее позиции в числе. Например, в числе «одиннадцать» («11») две единицы имеют разное значение, это относится и к другим сочетаниям «единиц» «111», «1111», «11 111» и т. д.

Не всякие числовые системы используют именно такой позиционный способ записи, в истории человечества были и иные эксперименты.

Способ записи чисел с помощью римских цифр не грешит единообразием: если цифра расположена справа, то ее значение прибавляется к предыдущей, например число «XI» означает «одиннадцать», а если слева, то значение вычитается, например число «IX», состоящее из тех же цифр, уже означает только «девять». Кроме того, в римской системе счисления в числе вес цифры X в любой позиции равен просто десяти, например число XXXII (тридцать два). И, наконец, цифры разбросаны по оси чисел.

В нашу современную жизнь многое пришло из Рима, в том числе римское право, латынь в медицине и фармакологии. Однако римская система счисления не прижилась, потому что она отличается указанной выше сложностью, которая препятствует технологичности: скажем, римские числа трудно складывать или умножать, не говоря уже о более сложных функциях.

Существует не одно множество цифр, образующих систему счисления. Это множество получило особое название основание системы счисления.

Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.

Выбор количества цифр диктуется какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся привычками или традициями конкретного народа.

Наиболее привычной для нас является десятичная система счисления. Исторически вначале, видимо, использовалась непозиционная единичная система счета с помощью камней или палочек. Система счета состояла из двух чисел один и два, а все, что больше двух, обозначалось, как «много».

Затем, благодаря наличию десяти пальцев рук у человека, возникла десятичная система счета. В этой системе используются специальные графические знаки арабские цифры, которые можно записать в следующем порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таких знаков десять, и они специально разделены запятыми, чтобы показать, что это отдельные («дискретные») знаки, которые не зависят друг от друга.

Идея позиционной системы счисления выдвигалась еще Архимедом в работе «Исчисление песка».

В разное время и у разных народов использовались системы счисления с различными основаниями:

в Древнем Вавилоне шестидесятиричная система (используемая и сейчас при измерении времени);

в Германии и Великобритании двенадцатеричная (при измерении количества, в денежных системах), у древних адыгов двадцатеричная и т. д.;

неколичественные (качество выступает в роли количества: «много», «мало» и т. д.) способы счета например, у эскимосов.

Рассмотрим основные системы счисления, помимо десятичной.

В двоичной системе счисления основание равно двум. В этой системе счисления используются всего два знака, две цифры «0» и «1».

Такая система получила название двоичной системы счисления. Ее еще называют бинарной, от английского слова «binary», что, собственно, и переводится как «двоичный». В таблице 1 представлено соответствие десятичных и двоичных чисел.

Таблица 1 — Соответствие десятичных и двоичных чисел.

В восьмеричной системе счисления основание — цифры 0,1,2,3,4,5,6,7.

Таблица 2. Соответствие десятичных и восьмеричных чисел.

Основание шестнадцатеричной системы счисления — цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и буквы A, B, C, D, E, F.

Соединим десятичные и шестнадцатеричные числа в единую таблицу (табл. 3).

Таблица 3 — Соответствие десятичных и шестнадцатеричных чисел.

Шестнадцатеричная система используется, чтобы более компактно записывать двоичную информацию. В самом деле, «шестнадцатеричная тысяча», состоящая из четырех разрядов, в двоичном виде занимает тринадцать разрядов (100 016 = 10 000 000 000 002).