Метод Гаусса (метод исключений)
Методом Гаусса называют точный метод решения невырожденной системы линейных уравнений, состоящий в том, что последовательным исключением неизвестных систему. Теперь очевидно, что надо делать для решения системы. Необходимо определить х3 из (3.14), подставить этот результат во второе уравнение системы и определить х2: Для удобства реализации алгоритма вектор-столбец правых частей уравнений включен… Читать ещё >
Метод Гаусса (метод исключений) (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Методом Гаусса называют точный метод решения невырожденной системы линейных уравнений, состоящий в том, что последовательным исключением неизвестных систему.
или 
приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей:
решение которой находят по рекуррентным формулам:
Существует много вариантов этого метода. Рассмотрим схему с выбором главного элемента.
Предположим, что ам Ф 0, и разделим обе части первого уравнения системы на ац, в результате получим уравнение:
С помощью полученного уравнения исключаем во всех уравнениях системы, начиная со второго, слагаемые, содержащие Х. Для этого умножаем последовательно обе части уравнения на а2, aJU а" и вычитаем из соответствующих уравнений. В результате получаем систему, порядок которой на единицу меньше порядка исходной. Аналогично преобразуем полученную систему. В результате л-крагного повторения этого преобразования получим систему с треугольной матрицей.
Основным условием применимости данной схемы является неравенство нулю элементов главной диагонали матрицы коэффициентов а" * 0, i = 1,…,". В противном случае необходимо сделать перестановку уравнений системы и добиться выполнения этого условия.
Пример 3.1. Требуется найти решение:
Элементы главной диагонали матрицы коэффициентов не равны нулю. Исключим х, из 2-го и 3-го уравнений системы:
Перейдем к десятичным дробям с точностью до третьего знака после запятой:
Исключим х2 из 3-го уравнения:
Получим эквивалентную систему с треугольной матрицей:
Теперь очевидно, что надо делать для решения системы. Необходимо определить х3 из (3.14), подставить этот результат во второе уравнение системы и определить х2:
затем подставить х2 и х3 в первое уравнение системы (3.14) и определить х: 
Рис. 3.1. Блок-схема метода Гаусса
Этот процесс обычно называют обратной подстановкой.
Блок-схема алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса представлена на рис. 3.1, программа расчета на языке Паскаль приведена в приложении. Рассмотрен случай, когда ан Ф 0, г = 1,…, п, и перестановка уравнений системы не требуется.
Для удобства реализации алгоритма вектор-столбец правых частей уравнений включен (я+1)-м столбцом в матрицу коэффициентов А системы п линейных уравнений.