Элементы линейной алгебры

На практике часто приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:

• 1) коэффициенты в формулах постоянные;
• 2) неизвестные входят в формулы только в первой степени;
• 3) отсутствуют произведения между самими неизвестными,

то такие зависимости называют линейными. Линейные зависимости имеют очень большое значение, так как к ним сводится приближенное решение широкого круга задач, поэтому теория решения линейных систем хорошо разработана.

Определители и их свойства. Алгебраические дополнения. Миноры

Линейные зависимости можно записать через системы линейных уравнений:

здесь а_п, я₁₂, a_ov а₂₂ — некоторые числа; х, у— неизвестные. Составим из коэффициентов системы прямоугольную (в данном случае — квадратную) таблицу вида

Определение 10.28. Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел a_jjy i — номер строки и j — номер столбца.

Определение 10.29. Элементы я., из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы.

Определение 10.30. Определителем второго порядка, или детерминантом, соответствующим матрице, назовем число D такое, что.

Определитель матрицы часто обозначаются прописной буквой D или символом Д.

Следует обратить внимание, что хотя определитель есть число, но определению 10.30, но до тех пор, пока не найдено его значение в виде единственного числа, он записывается в виде таблицы. Тогда можно сказать, например, о перестановке строк или столбцов в этой таблице. В таком случае следует говорить «определитель, соответствующий матрице». Но на практике обычно вторая часть этой фразы для простоты опускается и тогда остается только одно слово — «определитель». Для того чтобы различить, что имеется в виду — сам определитель в виде таблицы или его найденное значение, во втором случае применяют слово «детерминант». Поэтому, если говорят, например, «количество строк в определителе…», то имеют в виду определитель, соответствующий матрице, но еще не вычисленный до единственного числа. А если говорят «детерминант», то имеют в виду, что данный определитель представлен единственным числом, вычисленным либо по формуле, либо еще каким-нибудь допустимым способом.

Свойства определителей.

• 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
• 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.
• 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
• 4. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) определителя умножить (или разделить) на одно и то же число т, отличное от нуля, то определитель также умножится (разделится) на это число.
• 5. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
• 6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого — второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.
• 7. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на какое-либо отличное от нуля число.

Порядком определителя называется число его строк или столбцов.

Определитель — очень удобная математическая форма, которая позволяет быстро находить решение систем линейных уравнений. Большинство задач, связанных с вычислительной математикой, используют математический аппарат теории определителей.

Определитель третьего порядка. Пусть дана квадратная таблица (матрица) из девяти чисел a_v а₂, а₃, b_v b_v b₃> c_v c₂, c₃:

Определение. Число a_xb₂c₃ + a₃b_xc₂ + a₂b₃c_{ — a₃b₂c_x — ^a₃c₂ — a₂b_xc₃ na;

a, b. c,.

зываегся определителем третьего порядка и обозначается ^а2 Ь₂ с₂ .

а₃ Ь₃ с₃

Алгебраические дополнения и миноры. Рассмотрим определитель третьего порядка.

Определение. Величины, стоящие в скобках, называются алгебраическими дополнениями элементов, стоящих перед скобками,.

Определение. Минором элемента определителя называется определитель, полученный вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Пример

Замечание. Оказывается, алгебраическое дополнение элемента равно минору этого элемента, взятого со знаком «плюс», если сумма номеров строк и столбцов четная, и со знаком «минус» в противном случае.