Классификация событий. 
Действия над вероятностями событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Случайным событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием (опытом, экспериментом) понимается процесс, протекающий при определенных условиях, в результате которого наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Таким образом, событие — это возможный исход, результат испытания.

Примеры возможных исходов испытаний приведены в табл. 12.1.

Таблица 12.1

Примеры возможных исходов испытаний.

Далее события будут обозначаться прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: А, В, С.

Если при каждом испытании, в результате которого происходит событие Л, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В (входит в В) или В включает событие А и обозначают А, а В. Например, если событие Л — совершение административного правонарушения, В — совершение преступления, а С — совершение противоправного деяния, тоЛсСийсС.

Если одновременно Л с В и В с Л, то в этом случае события Л и В называются равносильными. Например, если в РУВД работает одна женщина следователь Иванова, то события — дело ведет Иванова и дело ведет следователь женщина — равносильные.

События называются несовместными (несовместимыми), если наступление одного из них в результате эксперимента исключает наступление другого. В противном случае события называются совместными (совместимыми). Например, осуждение и оправдание подсудимого — события несовместные, а осуждение по двум различным статьям Уголовного кодекса — события совместные. Получение студентом на экзамене, но одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» — события несовместные, а получение тех же оценок на экзаменах, но трем дисциплинам — события совместные.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти при некоторой совокупности условий. В процессе судебного разрешения спора обязательно должно быть вынесено судебное решение.

Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще нс может произойти. Например, в стране, где отменена смертная казнь, избрание ее в качестве меры наказания — событие невозможное.

События называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из этих событий не имеет объективно большую возможность появления, чем другое. Например, при бросании игральной кости появление каждой из ее граней — события равновозможные.

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет. Например, если в следственном отделе прокуратуры работают только мужчины, то событие, состоящее в том, что для расследования будет назначен следователь мужчина, является единственно возможным, а если работают и мужчины, и женщины, то единственно возможными событиями будут назначения на расследование следователя мужчины или следователя женщины.

Другой пример единственно возможных событий: в результате судебного разбирательства иск может быть удовлетворен полностью, частично или отклонен.

Несколько событий образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий. Так, в последнем приведенном примере события — иск удовлетворен полностью, иск удовлетворен частично, иск отклонен — образуют полную группу, так как они единственно возможные и несовместные.

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными (антисобытиями). Событие, противоположное событию Л, будем обозначать Л.

Например, осуждение и оправдание подсудимого, принятие и отклонение закона — события противоположные.

Введем понятие суммы, произведения и разности событий.

Определение 12.1. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В — совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события Л, или события В, или обоих событий вместе (используется также обозначение Л и В). Если Лий — несовместные события, то их сумма Л + В означает наступление или события Л, или события В.

Определение 12.2. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Если А, В, С — совместные события, то их произведение АВС (А П В) означает наступление и события Л, и события й, и события С.

Определение 12.3. Разностью А — В (Лй) двух событий Лий называется событие, которое состоится, если событие Л произойдет, а событие й не произойдет.

Для наглядности дадим геометрическую интерпретацию основных действий над событиями с помощью диаграмм Венна, получивших свое название, но имени английского математика-логика Джона Венна (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Диаграммы Венна:

а — А + Д; 6 — А В; в — В; г — А; д — А^В — АВ] е — В-А — ВА; ж-А + В-АВ]

з — АВ = А + В

Пример 12.1. Из колонии бежали три особо опасных преступника: Иванов, Суханов и Князев. Перед правоохранительными органами стоит задача: поймать Иванова (событие А), Суханова (событие В) и Князева (событие С). Что представляют собой события: а) А + В; б) АВС, в) АВ — С?

Решение, а) Событие А + В состоит в поимке Иванова или Суханова или обоих преступников.

• б) Событие АВС состоит в поимке всех трех преступников.
• в) Событие АВ — С состоит в том, что пойманы Иванов и Суханов, а Князев продолжает оставаться на свободе.

Пример 12.2. Пусть событие А состоит в том, что Государственной Думой принят закон, событие В — закон утвержден Советом Федераций, событие С — закон подписан Президентом. Изобразите указанные события с помощью диаграмм Венна и убедитесь в справедливости равенства.

Решение. Событие АВС состоит в совместном наступлении всех трех событий, т. е. закон будет принят Государственной Думой, и одобрен Советом Федераций, и подписан Президентом, т. е. закон будет принят. Событие АВС является антисобытием, т. е. закон не будет принят.

Смысл равенства в том, что закон не будет принят, если он не принят Государственной Думой, или не одобрен Советом Федераций, или не подписан Президентом. Справедливость указанного равенства проиллюстрирована на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Решение примера 12.2.

Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами.

• 1 .А+В=В+А — коммутативность сложения.
• 2. А + (В + С) = (А + В) + С — ассоциативность сложения.
• 3. АВ = ВА — коммутативность умножения.
• 4. А (ВС) = (АВ)С — ассоциативность умножения.
• 5. А (В + С) = АВ + АС; А + ВС = (А + В)(А + С) — законы дистрибутивности.

Свойства 1—3 очевидны, а справедливость равенств 4—5 подтверждается рис. 12.3.

Рис. 12.3. Иллюстрация свойств операций сложения и умножения событий:

а — А (В + С) = АВ + АС; б — А + ВС = (А + В)(А + С)