Классическое определение вероятности. 
Свойства вероятности события

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Очевидно, события: совершение преступления лицом, имеющим судимость, и лицом, ранее не привлекавшимся к уголовной ответственности, — обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера.

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами, случаями или шансами.

Случай называется благоприятствующим (благоприятным) событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.

Согласно классическому определению вероятность события, А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, т. е.

где Р (А) — вероятность события А; т — число случаев, благоприятствующих событию А;п — общее число случаев.

Пример 12.3. В РУВД работают 120 человек, 41 из них имеют только высшее образование, 53 — только среднее специальное образование, а 26 — и высшее, и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный сотрудник имеет высшее образование?

Решение. Общее количество возможных исходов п = 120. Пусть событие Л — выбор сотрудника с высшим образованием. Число исходов, благоприятствующих событию А, т = 41 + 26 = 67.

Тогда по определению вероятности: Р (А) = 67/120 = 0,5583.

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный сотрудник РУВД имеет высшее образование, равно 0,5583.

Пример 12.4. В избирательной компании на пост мэра участвуют три женщины и пять мужчин. Предположим, что выбор каждого из кандидатов — события равновозможные. Какова вероятность того, что будет избран мужчина?

Решение. По определению вероятности: Р (Л) = 5/8 = 0,625.

Следовательно, вероятность того, что выбранный мэр будет мужчиной, равна 0,624.

Пример 12.5. При бросании игральной кости возможно шесть исходов — выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все п = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны. Событию А — «появление четного числа очков» благоприятствуют три исхода — 2, 4 и 6 очков. По формуле (12.1): Р (А) = 3/6 = ½.

Отметим свойства вероятности события.

1. Вероятность любого случайного события заключена между нулем и единицей, т. е.

• 2. Вероятность достоверного события равна единице.
• 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Перечисленные свойства очевидны, так как Р (А) = т/п, а число т благоприятствующих случаев для любого события удовлетворяет неравенству 0 <�т<�п, для достоверного события т = п, а для невозможного события т = 0.

Сложение вероятностей. Сформулируем теорему (правило) сложения вероятностей.

Теорема 12.1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа п попарно несовместных событий:

или

Следствие 1. Сумма вероятностей п событий, образующих полную группу, равна единице:

Если события А, А₂, Л₃, …, А_п образуют полную группу, то они единственно возможные и несовместные.

Так как события Л, Л₂, Л₃,…, А_п единственно возможные, то событие Л, + + Л₂ + Л₃ + … + Л", состоящее в появлении в результате испытания хотя бы одного из этих событий, является достоверным, т. е. его вероятность равна единице:

В силу того, что события A_VA_V Л₃,А_п — несовместные, к ним применима теорема сложения (12.3), т. е.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Утверждение (12.6) следует из того, что противоположные события образуют полную группу.

Пример 12.6. В первом туре на выборах в президенты от блока правых сил заявлены два кандидата: Иванов и Сидоров. Вероятность выбора президентом Иванова равна 0,35, Сидорова — 0,4. Найти вероятность того, что:

• а) в первом туре будет избран кандидат от блока правых сил;
• б) в первом туре будет либо избран кандидат от другой партии, либо в первом туре не будет избран ни один кандидат.

Решение. Пусть события А, В — выборы президентом Иванова, Петрова соответственно. А событие С — выбор в первом туре кандидата от блока правых сил. По условию Р (А) = 0,35, Р (В) = 0,4.

• а) Очевидно, что С = А + В, где А и В — несовместные события. По теореме сложения Р (С) = Р (А) + Р (В), откуда Р© = 0,35 + 0,4 = 0,75.
• б) Событие, заключающиеся в том, что в первом туре будет либо избран кандидат от другой партии, либо в первом туре не будет избран ни один кандидат, является противоположным событию С (выбору кандидата от блока правых сил). Следовательно, так как

Следует еще раз подчеркнуть, что рассмотренная теорема сложения применима только для несовместных событий и попытка ее использования для совместных событий приводит к неверным и даже абсурдным результатам. Например, пусть вероятность вынесения оправдательного приговора для каждого из 100 дел, находящихся в судопроизводстве, равна 0,1, т. е. Р (А') = 0,1 (i = 1, 2, …, 100). Тогда, применяя теорему сложения, получим, что вероятность вынесения оправдательного приговора хотя бы по одному из 100 дел определяется следующим образом:

Полученный результат является абсурдным, так как вероятность любого события не может быть больше единицы. Объясняется это тем, что в данном случае теорема сложения вероятностей неприменима, ибо вынесение оправдательного приговора для каждого из 100 рассматриваемых в суде дел, т. е. события A_v A_v А₃,…, А_п, являются событиями совместными.