О классификации систем массового обслуживания (СМО)

Этот пункт написан специально для тех, кто будет изучать оригинальные работы Л. И. Костогрызова, и чтобы (возможно) облегчить хотя бы немного трудную жизнь студента-исследователя.

• 1. Костогрызов, как и ряд других исследователей, использует международную систему классификации СМО согласно Кендаллу. Так проще быть понятым на международных англоговорящих конференциях. Например: СМО типа (M|G|1), где М (от Marcovian — марковский) — простейший поток, что означает также, что длительность интервалов между моментами поступления требований независимы, одинаково распределены и имеют показательное распределение; G (general) — распределение времени обслуживания общего вида; 1 — число обслуживаемых приборов^[1].
• 2. А между тем этой кендалловской шифровке противостоит содержательная классификация СМ О выдающегося математика нашего времени А. А. Боровкова, который предложил два способа их классификации. Особенно прозрачен первый способ¹, который использует последовательность четырехмерных управляющих векторов:

где if — длительность последовательных интервалов между поступлениями требований; vf — количество требований, поступающих в моменты т,; т- — время обслуживания требований; V- — количество требований, принятых на обслуживание в i-й партии.

У читателя может возникнуть невольный вопрос — какое отношение эти СМО имеют к надежности? Ответ давно дан^[2][3]. А. Я. Хинчин иод «требованием» понимал в числе других и отказ как потерю вызова на телефонной линии, а сегодня это угроза, ущерб и т.н.

Примеры. Рассмотрим далее несколько примеров.

Пример 6.3

Согласно требованиям технического задания на этапе проектирования разработчик микро-наноэлектронной аппаратуры (МНЭА) системы навигации должен расчетным методом определить P_c(t) при условии, что задана вероятность безотказной работы P (t) преобразователя линейного ускорения (ПЛУ) в течение t = 1000 ч, равная 0,95, т. е. Р (1000) = 0,95, а для повышения надежности системы имеется второй такой же ПЛУ, который включается в работу при отказе первого. Распределение отказов подчиняется экспоненциальному закону.

Логическая модель надежности системы представлена на рис. 6.13.

Примечание. Вместо двух ПЛУ могут быть два диска с накопленной информацией об измерениях величин ускорений.

Требуется найти формулу для вероятности безотказной работы P_c(t) при резервировании методом замещения кратности т = 1 системы согласно логической модели надежности и рассчитать вероятность ее безотказной работы.

Решение. Согласно теории резервирования [35] в предположении экспоненциального закона распределения безотказной работы:

Подставляя в формулу т — 1, получим.

11ри V «¹ Я_с(0 = (1 — VK^[4] + V) =^[4] -(V)²— Из условия задачи P (t)-e~=0,95, тогда Х₀? ~ 0,05.

Подставляя полученное значение в последние выражения для Р_с(?), получим или

(последняя наша формула удобна для расчетов в уме).

Пример 6.4 (парадокс надежности (математический курьез))

Известно (см. пример 6.3), что.

Полагая Л₀Г = х, разложим в ряд Маклорена функцию е^х:

После обратной подстановки в полученный выше ряд х = Х₀? имеем.

Сравнивая полученное выражение со вторым сомножителем в уравнении (6.11), получим.

т.е. в результате получили парадокс — абсолютную надежность системы, вероятность безотказной работы равна 1. Это странно. В чем здесь дело?

Ответ таков. Дело в бесконечном числе запасных элементов в системе, что на практике не реализуется. В частности, в задаче 6.3 (для т — 1) был получен результат типа разности квадратов, при А,₀? «: 1: P_c(t) = (1 — А,₀?)(1 + X₀t) = 1 — (X₀t)². Этот результат теперь легко может быть получен из формулы P_c(t) = e~^^te^k& после разложения в ряд обоих сомножителей^[4].

Пример 6.5

Требуется построить график вероятности предотвращения угроз (ВПУ) от дезинформации («дэзовируса») в /-пространстве P_c(t) =e~^xo^t (1 + X₀t) при = 0,25 в диаиазонс 0—10 000 ч с шагом в 1000 ч, объяснить сс характер и провести линейную и экспоненциальную аппроксимации.

Решение. 1. Составим таблицу для функции P_c(t)=e~^xo^t+

t, ч.	Значения Pc(t)
	0,973 501.
	0,909 796.
	0,826 641.
	0,735 759.
	0,644 636.
	0,557 825.
	0,477 878.
	0,406 006.
	0,342 547.
10 000.	0,287 297.

2. Используя, например, команду «Вставка» в Excel, получим график (рис. 6.14), а можно его получить и вручную с использование миллиметровой бумаги и приемов номографии.

Падающий характер зависимости ВПУ от времени очевиден из рис. 6.14, наклон прямой у = -8E-05t (x) + 1,0363 отрицателен, т. е. первая производная имеет.

at

отрицательный знак и указывает на характер зависимости уменьшения ВПУ во времени. Такой знак производной обусловлен тем, что количество угроз со временем убывает. Это аналогично Ф-пространству для приработочных испытаний, прогонов изделий и является целью технологических испытаний на этапе производства.

ч dPAt)

для «выжигания» отказов. Вот почему в надежности ТС существует такой показа;

тель как частота отказов a_c(t) =—^К0Т0Р^ЫИ соответствует плотности вероятности работы изделия до первого отказа.

П род и ффере! щи руем:

Если по формуле a_c(t) = lte~^xQ^f построить график, то получим имеющий вид горки интересный результат, наглядно подтверждающий спад частоты угроз во времени (рис. 6.15).

Полученный результат интересен тем, что для системы «с холодным резервом» имеется некоторый «пессимум» (5000 ч), после которого частота угроз действительно спадает. Это характерно для пусконаладочных работ сложных географически-распределенных по всей России систем, когда бригада высококвалифицированных командировочных работников летает по ее регионам и опекает свои НС финансового назначения, часто перебиваясь с хлеба на пиво (именно пиво, чтобы избежать дестабилизации желудочного тракта от смены воды).

А вот интенсивность угроз, точнее, опасность угроз, или риск, показывает рост с насыщением, т. е. поток угроз уменьшается со временем (рис. 6.16).

dP,(t).

— знаменатель спадает Математически это понятно, поскольку А,_с(?) =-——.

dP?t).

dt

но экспоненте, а числитель — это знакомый нам параметр: частота угроз a_c(t) = -

Совместное изображение риска и частоты угрозы напоминает картинку из далекого детства (рис. 6.17) — «Идет коза рогатая за малыми ребятами».

Пример 6.6

Пользуясь информационно-логической моделью (I, 5_Л) блока управления (БУ) (рис. 6.18), одним каналом подрешетки АФАР (активной фазированной антенной решетки) с холодным резервированием и исходными данными табл. 6.5 по интенсивности отказов (L) элементов расчета надежности (ЭРН), полученными с использованием программы Relex при температуре эксплуатации Т = +50°С, рассчитаем вероятность безотказной работы БУ P (t, L, БУ) на срок 5100 ч.

Таблица 6.5

Исходные данные, но интенсивности отказов ЭРН

Обозначения наССН.	Символ.	Интенсивность отказов, ¼.	Количество ЭРН, шт.	Тип ЭРН.
HDD	А 1,1.	2,85 100^-08.		DDOM-SST-1G-44P-HL (использование уравнения Аррениуса).
CPU	11,2.	2,75 561 ?-08.		VSX-6150-V2-X.
МСО	11,3.	2,56 382?-07.		TX-104−12ISA-M.
CPLD	ПА	1,28 125?-07.		XC95144XL-10TQ144I.
GN	11,5.	3,75 000?-07.		J022.
EXAR	11,6.	3,69 072?-07.		XR16C2850IM.
RTX	11,7.	5,38 840?-08.		ADM2582EBRWZ.

Окончание табл. 6.5

Обозначения на ССН.	Символ.	Интенсивность отказов, ¼.	Количество ЭРН, шт.	Тип ЭРН.
BUF	?1,8.	4,32 000?-06.		SN74LVC2G34DCK.
ОС	?1,9.	2,16 000?-06.		HCPL-073L.
VD	?1,10.	1,26 586?-08.		KP-1608SEC (16),. МВR0520LTG (2), BAS70−04(16).
R	?1,11.	6,39 547?Ч)8.		0603…ВТ (от 51 Ом до 1 к Ом).
С	?1,12.	1,73 882?Ч)7.		0,603-X7R (ot 0,001 до 10 мкФ).
Сумма.		?? =. = 7,96 902?Ч)6.		;

Примечания:

• 1) 11 = 11,1 +11,2 + … +11,12;
• 2) /Л, 10 = 1,26 586^-08 = 2,76?-10 • 8 + 2,106/f-10 • 11,282Е-9 • 8 + 76?-10, что соответствует трем типам VD для ½ блока управления фазой (БУФ) блока управления (БУ);
• 3) ?1,11 = 6,39 547?-08 = 9,7 675?-10 -71, что соответствует группе маломощных (0,1 Вт) резисторов R для ½ БУФ БУ;
• 4) ?1,12= 1/73 882Е-07 = 2,459 601 ?-9 • (1 + 4 + 1 + 4)/2 + 4,58?-9 • (1 + 1 +8)/2 + + 3,9624Е-9 • (3 + 2+ 3 + 62)/2, что соответствует трем типам (по номиналу) конденсаторов С для 1 /2 БУ.

Рис. 6.18. Информационно-логическая модель (?, 5_Л) (/_л)-пространства блока управления с элементами расчета надежности.

Решение. Подставляя значения LL = 7,96 902?-06 1/ч и t = 5100 ч в формулу ЭФР (см. гл. 2) экспоненциального вида, оценим вероятности безотказной работы нерезервированного БУ:

а затем и канала с холодным резервом БУ:

• [1] Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н.

  Введение

  в теорию массового обслуживания. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1987. С. 178.

• [2] Анисимов В. В., Закусило О. К., Донченко В. С. Элементы теории массового обслуживания и асимптотического анализа систем. Киев: Вища школа, 1987. С. 8.
• [3] Вы можете прочесть его в работе: Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания / под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Физматгиз, 1963. С. 200.
• [4] Любителям древних книг и истины мы советуем, помимо книг и конспектов лекцийпо высшей математике и основам теории надежности (раздел «Восстанавливаемые системы»)открыть для себя проверенные временем книги: Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другиематематические формулы. М.: Наука, 1973. С. 115; Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицыинтегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. С. 36; Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 1. М.: Наука, 1965. С. 312 (изданиями этой книги пользовался дажеЛ. Д. Ландау); Половко А. М. Основы теории надежности. М.: Наука, 1964. С. 237.
• [5] Любителям древних книг и истины мы советуем, помимо книг и конспектов лекцийпо высшей математике и основам теории надежности (раздел «Восстанавливаемые системы»)открыть для себя проверенные временем книги: Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другиематематические формулы. М.: Наука, 1973. С. 115; Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицыинтегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. С. 36; Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 1. М.: Наука, 1965. С. 312 (изданиями этой книги пользовался дажеЛ. Д. Ландау); Половко А. М. Основы теории надежности. М.: Наука, 1964. С. 237.
• [6] Любителям древних книг и истины мы советуем, помимо книг и конспектов лекцийпо высшей математике и основам теории надежности (раздел «Восстанавливаемые системы»)открыть для себя проверенные временем книги: Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другиематематические формулы. М.: Наука, 1973. С. 115; Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицыинтегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. С. 36; Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 1. М.: Наука, 1965. С. 312 (изданиями этой книги пользовался дажеЛ. Д. Ландау); Половко А. М. Основы теории надежности. М.: Наука, 1964. С. 237.