Свойства ММП-оценок. 
Эконометрика

ММП-оценки обладают очень полезными свойствами, которые мы перечислим ниже.

1. Инвариантность.

Если 0_МП — ММП-оценка параметра 0 и g () — непрерывная функция, то g (0_Mn) является ММП-оцепкой параметра g'(0).

2. Состоятельность.

Определение состоятельной оценки дано в подпараграфе 2.3.1.

3. Асимптотическая нормальность.

При п -* °о оценка вектора параметров имеет нормальное распределение:

где 1(0) — информационная матрица Фишера, вычисляемая по формуле.

• (дЧ, д²1
• 1(0) = -Е—, (— функция правдоподобия, — — матрица Гессе.
• (50o0'j 5050
• 4. Асимптотическая эффективность.

Оценка ММП дисперсии каждого параметра (один из диагональных элементов ковариационной матрицы I ЧЭ)) является нижней границей для всех состоятельных асимптотически нормальных оценок этого параметра.

Проверка линейных гипотез с помощью теста отношения правдоподобия

В подпараграфе 5.4.3 проверка гипотез о линейных ограничениях осуществлялась с помощью F-статистики. При этом тест Вальда применим для проверки не только линейных, но и нелинейных ограничений¹.

Еще одним тестом, позволяющим тестировать гипотезы как о линейных, так и о нелинейных ограничениях на коэффициенты регрессии, является тест отношения правдоподобия, в котором используется функция правдоподобия и который, как мы продемонстрируем в следующих главах, применим и к более сложным моделям.

Идея теста отношения правдоподобия достаточно проста: сравниваются значения функции правдоподобия в точке максимума модели с ограничениями (Р, а²) и без ограничений (|3,6²).

ДМ²).

Если отношение X = достаточно близко к единице, то гипотеза.

?(р, сг) о соответствующих ограничениях не отвергается.

Однако удобнее изучать не отношение значений функции правдоподобия в двух точках, а монотонную функцию от нее, которая традиционно называется LR (likelihood ratio):

Упростим последнее выражение. Легко показать в предположении о нормальном распределении ошибок (см. задание 6.5), что.

Для нахождения ^(j$, d²) решим задачу максимизации функции (6.2) при наличии ограничений QP = q. В этом случае необходимо максимизировать функцию Лагранжа

где р — r-мерный вектор множителей Лагранжа.

Учитывая формулу (6.3), получаем выражение для h

Необходимые условия экстремума:

¹ Общий случай описан в работе [21, р. 189—190].

Решение этой системы р, р, ё удовлетворяет соотношениям:

гдеё = Y — Хр. Оценкар называется оценкой условного МНК. Следовательно,.

Отметим, что итоговая формула имеет достаточно простой вид, хотя и требуется оценить как модель с ограничениями, так и модель без ограничений. При достаточно больших п статистика LR имеет распределение %².