Исследование структурной устойчивости коэффициентов регрессии

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• • определение фиктивных переменных;
• • тестовую статистику для проведения теста Чоу; уметь
• • проверять гипотезы о единой зависимости двух выделенных групп наблюдений;

владеть

• • навыками интерпретации регрессий с фиктивными {dummy) переменными;
• • навыками проведения теста Чоу в основных статистических пакетах.

Фиктивные (dummy) переменные и их использование для дифференциации свободных членов и коэффициентов наклона регрессии.

Слово dummy в переводе с английского обозначает «манекен» (существительное) или «фиктивный» (прилагательное). Популярные желтые книжки серии «для чайников» в англоязычной литературе называются «for dummies». Отсюда становится понятным, что столь распространенные в эконометрических исследованиях дамми-переменные (или фиктивные переменные) — это нечто упрощенное. Это отчасти так: фиктивными называются переменные, которые принимают только два значения, обычно 0 и 1. Эти переменные часто используются при работе с массивом данных, естественным образом разделяющимся на две группы по некоторому признаку.

Приведем несколько примеров фиктивных переменных. В базах данных для индивидов обычно встречается фиктивная переменная (условно назовем ее MALE), равная 1 для мужчин и 0 для женщин. Другая возможная фиктивная переменная (назовем ее CITIZENSHIP) принимает значение 1, если индивид имеет гражданство страны, в которой проживает, и 0 — в противном случае. Третья фиктивная переменная (назовем ее HIGHEDUCATION) принимает значение 1 для индивидов, имеющих высшее образование, и 0 — для не имеющих.

Рассмотрим, что происходит при добавлении фиктивной переменной в модель парной регрессии, а именно, исследуем модель.

где X — некоторая непрерывная переменная, а.

является фиктивной переменной.

Отметим, что наблюдения 1,…, n_v для которых значение переменной D равно единице, образуют первую категорию, а остальные наблюдения, для которой значения переменной D равны нулю, — вторую категорию.

В оцененном уравнении регрессии.

оценка коэффициента Р₂ характеризует, есть ли разница между зависимостями для двух выделенных категорий. Если коэффициент р₂ значим, то разница есть.

Для первой категории оцененное уравнение регрессии будет иметь вид У = р_о + Р₂ + PjX, а для второй — У = р_о + PjX, т. е. при одинаковых значениях X разница в оценке зависимой переменной будет составлять р₂.

Например, если X — это прибыль фирм, У — объем выплачиваемых ими дивидендов, П = 1 для фирм в нефтегазовой отрасли и 0 для фирм в остальных отраслях, то значимость коэффициента Р₂ при оценке параметров соответствующего уравнения регрессии будет обозначать разницу в дивидендной политике фирм в нефтегазовой отрасли по сравнению с фирмами в остальных отраслях.

В представленной выше модели предполагалось, что коэффициент наклона для двух выделенных категорий является одинаковым, а различаются лишь свободные члены. Однако фиктивные переменные позволяют учитывать разницу не только в свободных членах, но и в коэффициентах наклона с помощью модели.

В оцененном уравнении регрессии У = р_о + р, Х, — + p₂Z) + р₃(Д._rJQ значимость коэффициента Р₂ будет обозначать разницу в оценках свободных членов, а значимость коэффициента р₃ — разницу в оценках коэффициентов наклона. В этом случае оцененное уравнение регрессии для первой категории будет иметь вид У = (3₀ + р₂ + (р, + р₃)Х, а для второй категории — У = р₀ + р, Х Для проверки, есть ли разница для двух выделенных категорий, следует провести проверку гипотезы Я₀: р₂ = р₃ = 0 при альтернативной гипотезе Я: Р₂^{2 +} Рз²*0.

Данную ситуацию можно проиллюстрировать на рис. 7.1. Белыми кружками обозначены наблюдения из первой категории, черными — из второй. На рис. 7.1, а изображена линия, соответствующая оцененному уравнению регресии без разделения по категориям (для всех точек). Рисунок 7.1, б соответствует уравнению (7.1) (видно, что благодаря включению дамми-переменной для первой категории изменилась оценка не только свободного члена, но и коэффициента наклона). Рисунок 7.1, в соответствует редкой ситуации, когда вводится сильное предположение о том, что различаются только коэффициенты наклона, но обе прямые проходят через одну и ту же точку на вертикальной оси. Рисунок 7.1, г соответствует уравнению (7.3).

Мы рассмотрели случай включения фиктивной переменной в уравнение с одним объясняющим фактором (кроме фиктивной переменной). Однако этот подход легко может быть обобщен на случай множественной регрессии.

Если мы имеем две категории, то для выявления, имеет ли для них место единая зависимость, можно оценить регрессию.

Y, = (Р" + 5₀Ц) + (Р, + 8Д) Х" + … + (Р* + б_kD,)X_ki + в, i — 1…п, (7.4).

где Д = 1, если i = 1,…, n_v т. е. наблюдение принадлежит к первой категории, и D, = 0, если i = п_{ + 1…п, т. е. наблюдение принадлежит второй категории.

Тогда гипотеза о единой зависимости для двух категорий формулируется следующим образом:

при альтернативной гипотезе.

Рис. 7.1. Линии регрессии при различных спецификациях с дамми-псрсмсниыми:

а — общая выборка; б — разные свободные члены; в — разные коэффициенты наклона; г — разница в обоих коэффициентах Для выбора между основной и альтернативной гипотезами следует использовать традиционную схему, изложенную в гл. 5, а именно, оценить регрессию без ограничений.

и с ограничениями.

и воспользоваться тестовой статистикой.

Если нулевая гипотеза не отвергается, то зависимость для двух выделенных категорий является единой, а если отвергается, то различной.