Уравнение теплопроводности в движущейся среде
Полученное равенство можно назвать уравнением теплопроводности в движущейся несжимаемой жидкости в интегральной форме. Первый интеграл в левой части выражает количество тепла, протекающего за единицу времени через поверхность S, второй — количество тепла, выделившееся или поглотившееся (в зависимости от знака функции f) в объеме V за единицу времени, а правая часть выражает изменение количества… Читать ещё >
Уравнение теплопроводности в движущейся среде (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим среду, заполненную движущейся несжимаемой жидкостью, и выделим (мысленно) неподвижный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью 5 (см. рис. 3.2).
Выделим на этой поверхности малый участок dS с вектором нормали п . Количество тепла, протекающего за единицу времени через этот участок, определяется суммой потоков тепла за счет теплопроводности и конвекции. Конвективный поток найдем следующим образом: умножив скалярно вектор скорости v на вектор нормали п к участку dS, найдем проекцию скорости на вектор нормали.
Рис. 3.2. К выводу уравнения теплопроводности движущейся в среде
Умножив эту проекцию на площадь dS, найдем объем жидкости, протекающей за единицу времени через участок dS. Умножив этот объем на плотность р, найдем массу, а умножив массу на удельную теплоемкость с и температуру Т, найдем количество тепла, которое вместе с движущейся жидкостью протекает за единицу времени через участок.
dS; это и есть конвективный поток cpTvndS. Таким образом, суммарный тепловой поток через участок dS равен dq = [~A (gradTn) + cpTvH]dS, а количество тепла, протекающего за единицу времени через всю поверхность S, равно интегралу от dq по этой поверхности.
Полученное равенство можно назвать уравнением теплопроводности в движущейся несжимаемой жидкости в интегральной форме. Первый интеграл в левой части выражает количество тепла, протекающего за единицу времени через поверхность S, второй — количество тепла, выделившееся или поглотившееся (в зависимости от знака функции f) в объеме V за единицу времени, а правая часть выражает изменение количества тепла, находящегося внутри объема V за единицу времени. Знак перед первым интегралом в левой части уравнения (3.8) выбран в соответствии с физическим смыслом: тепловой поток считается положительным, если он втекает в объем, и отрицательным, если вытекает из объема.
Преобразуя по теореме Остроградского-Гаусса интеграл по поверхности в интеграл по объему, получаем уравнение теплопроводности в движущейся несжимаемой жидкости в дифференциальной форме:
