Микроканоническое распределение в квантовой статистике

Чисто механический подход к решению задачи о поведении макротел и в квантовом случае столь же безнадёжен, как и в классическом. Выясним, прежде всего, особенности, к которым приводит учёт квантовомеханического характера поведения частиц системы.

В классическом случае функция распределения макроскопической системы р(p>q) является функцией координат и импульсов частиц системы. В квантовой механике координаты и импульсы частиц не могут иметь одновременно определённого значения. Согласно принципу Гейзенберга, неопределённость в значении координаты Aq и неопределённость в значении сопряжённого ей импульса Ар, связаны соотношением: ApAq>b. Поэтому в квантовой статистике речь может идти лишь о нахождении вероятностей координат и импульсов в отдельности. Искомые распределения должны учитывать как статистическую неопределённое^, так и неопределенность, присущую квантовомеханическому описанию самому по себе.

Рассмотрим некоторую макроскопическую систему, состоящую из квазинезависимых подсистем. В течение не слишком больших промежутков времени подсистемы можно считать замкнутыми и, следовательно, находящимися в стационарных состояниях j/". Пусть w, — вероятность нахождения подсистемы в состоянии /". Тогда среднее значение произвольной физической величины / должно вычисляться в два этапа: сначала вычисляется квантовомеханическое среднее / для данной подсистемы (см. [3], с. 31- 32)

а затем уже среднее значение / для системы в целом.

Совокупность величин w_n и представляет собой функцию распределения в квантовой статистике. Она подчиняется тем же соотношениям, которые выполняются для р(р, ф в классической статистике.

В частности, аналогом теоремы Лиувилля является утверждение о том, что w_n являются интегралами движения квантовомеханических макроскопических систем. Отсюда точно также следует, что квантовая функция распределения должна выражаться через аддитивные интегралы движения, и, при исключении движения системы как целого,

Для записи микроканонического распределения учтем факт макроскопичности системы, в силу чего число ее квазинезависимых подсистем огромно, соответственно чрезвычайно велико и число состояний, в которых могут находиться эти подсистемы. Понятно, поэтому, что уровни энергии макроскопической системы располагаются чрезвычайно плотно и её энергетический спектр можно считать непрерывным (квазинепрерывным). Поэтому можно ввести понятие о числе квантовых состояний, приходящихся на определённый интервал значений энергии системы dE. Обозначим эго число ^/Г, оно играет в квантовой статистике ту же роль, что и элемент фазового объёма dpdq в классическом случае (чтобы подчеркнуть этот факт, мы обозначаем его той же буквой Г).

Состояние системы в целом можно охарактеризовать заданием состояний всех ее квазинезависимых подсистем, тогда.

где dY_a — число состояний подсистем, таких, что сумма их энергий лежит в интервале dE.

Следовательно, вероятность нахождения системы в каком-либо из dr состояний имеет вид.

Выражение (1.12) и представляет собой микроканоническое распределение в квантовой статистике.