Квантовая статистика систем, состоящих из одинаковых частиц

Принцип тождественности частиц

Прежде чем перейти к формулировке принципа тождественности необходимо сказать несколько слов о том, зачем вообще понадобилось вводить новый принцип в статистическую физику.

В главе IV мы рассмотрели теорию теплоемкости идеальных газов и показали, что результаты, полученные в рамках классической статистики находятся в резком противоречии с опытными данными. Поэтому нам пришлось учесть квантовый характер поведения молекул газа, в этом случае мы получили результаты, хорошо согласующиеся с опытом в области нормальных и высоких температур. Однако при Т"Т_х (Т_х — характеристическая температура вращательного движения молекул) и найденные на основе квантовой статистики результаты не согласуются с теоремой Нернста (которая прекрасно подтверждается экспериментами). В частности, теплоемкость Су при Г—?() оказывается равной 3Nk/2, а не нулю, как это требует теорема Нернста. Данное противоречие вообще нельзя преодолеть, оставаясь в рамках уже сформулированных нами принципов. Действительно, при Т" Т_х возбуждены только поступательные степени свободы, а поступательное движение имеет непрерывный спектр и всегда может быть описано законами классической механики. Поэтому, возникающие в теории теплоемкости трудности, не связаны с законами движения микрочастиц, а обусловлены неприменимостью исходных положений, касающихся статистических свойств идеального газа как макроскопической системы.

Легко видеть, что построенная нами теория теплоемкостей базировалась на распределении Больцмана.

где Пк — среднее число частиц, находящихся в к -м квантовом состоянии, то есть в состоянии с энергией г_к.

Поэтому из сказанного выше мы должны сделать вывод о том, что распределение (6.1) по уровням энергии становится неприменимым при низких температурах.

Мы получили выражение (6.1) из распределения Гиббса, предполагая, что т «1. Следовательно, неприменимость распределения Больцмана при низких температурах связана с нарушением этого условия. Понятно, почему условие т «1 и тождественность частиц тесно связаны друг с другом. При т «1 в каждом квантовом состоянии находится не более одной частицы, поэтому все частицы отличаются значениями энергии и могут считаться различными, при нарушении же этого условия необходимо учитывать их тождественность.

Напомним краткое содержание принципа тождественности, который достаточно подробно обсуждался в курсе квантовой механики (см. [3], с 104). Его можно сформулировать в виде следующего утверждения: все квантовые частицы одного сорта совершенно одинаковы. Это означает, что собственные характеристики (заряд, масса, спин и т. д.) двух, например, электронов абсолютно одинаковы и не существует способа отличить их друг от друга.

На первый взгляд кажется, что данный принцип можно было бы сформулировать и в классической физике. Но классические частицы движутся по определенным траекториям, поэтому, зная начальное положение частицы, можно указать ее положение в любой последующий момент времени. Если в начальный момент времени пронумеровать классические частицы, то обнаружив частицу в некоторый последующий момент времени, мы можем, восстановив траекторию ее движения, указать, какую именно частицу мы наблюдаем. Другими словами, тождественность классических частиц относительна.

Иначе обстоит дело в квантовой механике. Поскольку у квантовых частиц нет определенных траекторий движения, то, обнаружив частицу, мы нс в состоянии узнать, с какой именно частицей имеем дело. Тождественность квантовых частиц абсолютна.

Основным следствием принципа тождественности является утверждение о том, что системы тождественных частиц делятся на два класса — одни из них описываются симметричными (относительно перестановки частиц) волновыми функциями, другие — антисимметричными. Соответственно на два класса делятся и сами частицы. Физическим критерием, определяющим принадлежность частицы к тому или иному классу, является её спин. Системы частиц с целым спином (с целым значением спинового квантового числа: s = О, 1, 2, …) описываются симметричными волновыми функциями, их называют бозонами. Системы частиц с полуцелым спином (s = V₂, У2,…) — антисимметричными, их называют фермионами. Характерно, что, свойства симметрии волновой функции по отношению к перестановке тождественных частиц не меняются с течением времени, не меняется и принадлежность частицы к классу бозонов или фемионов.

Эти два класса тождественных частиц отличаются правилами заполнения квантовых состояний. Фермионы подчиняются принципу запрета Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянии, соответствующем определенному набору квантовых чисел, может находиться не более (Явного фермиона. Другими словами, фермионы заполняют квантовые состояния поодиночке. Бозоны же принципу Паули не подчиняются, и в данном квантовом состоянии может находиться какое угодно их число.