Правые и левые координатные системы

Весьма важным моментом при построении координатных систем и при расчетах переходов между ними являются правила определения направлений отсчета углов и выбора положительных направлений.

Рассмотрим три вектора а. Ь и с, исходящих из одной точки О, относительно которых примем, что они не лежат в одной плоскости и любые два из них не являются коллинеарными. Установим между этими векторами отношение порядка, то есть будем полагать, например, что первым является вектор а, вторым 6, а третьим — с. Определим теперь направление вращение таким образом, что направление второго вектора получается из направления первого поворотом на угол, меньший 180°. Это направление однозначно определяется, потому что по условию исключается коллинеарность векторов.

Рис. 1.2. Правосторонняя система векторов.

Плоскость, проходящая через первые два вектора, выделяет два полупространства. Назовем систему векторов правосторонней, если вращение винта с правой нарезкой в направлении от первого вектора ко второму отвечает его перемещению в ту часть полупространства, в которой находится третий вектор рассматриваемой совокупности векторов. В противном случае система векторов называется левосторонней. Свойство правосторонности (или левосторонносги) не изменится, если мы за основу примем поворот от второго вектора к третьему или от третьего к первому, то есть циклическая перестановка векторов не изменяет свойства правосторонности.

Если же мы поменяем порядок рассмотрения векторов, например, первым будем считать вектор 6, а вторым — а, то те же самые вектора, но в ином порядке будут определять левую тройку (рис. 1.3). Таким образом, одна и та же тройка векторов может быть и правосторонней и левосторонней, все зависит от того порядка, в котором мы их рассматриваем: а, 6, с, или Ь. а, с.

Рис. 1.3. Левосторонняя система векторов.

Существует следующее мнемоническое правило определения правосторонней координатной системы. Если большой, указательный и средний пальцы правой руки расположить так, чтобы они образовывали прямой угол, то направления этих пальцев укажут соответственно направления осей т, у и 2 правой системы координат.

Для определения этого свойства тройки векторов важно только их направление в пространстве и порядок, в котором они рассматриваются, а не их величина. Если в качестве системы трех векторов выбираются три взаимно ортогональных вектора единичной длины, то такая система векторов называется триэдром и может служить для определения прямолинейной ортогональной координатной системы. В соответствии с определением порядка векторов триэдра эта система может быть правосторонней или левосторонней.

Существуют величины, являющиеся по своей природе скалярами, которые, однако, изменяют свой знак при переходе от правой системы координат к левой. Примером такой величины может быть объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, и определяемый как величина определителя, столбцами которого являются проекции векторов:

Этот определитель является положительным, когда система векторов, образующих объем, и координатная система одинаково ориснтированы. При переходе в системе координат к другой ориентации этот определитель будет менять знак. СкачПяры, знак которых соотнесен с правосторониостыо или левосторонностыо координатной системы, называются псевдоскалярами. Существуют и многие другие объекты, проявляющие аналогичные свойства. В дальнейшем будем рассматривать только правосторонние координатные системы. Это позволит обойти множество затруднений, связанных с рассмотрением псевдоскаляров, псевдотензоров и т. д.