Разные напряжения. 
Механика сплошной среды: теория напряжений и основные модели

Шаровая и дивиаторная части тензора напряжений. В ряде случаев тензор напряжений удобно представить в виде суммы двух тензоров шаровой и девиаторной частей:

Такое представление используется, например, в механике жидкости, где в качестве шаровой части выступает гидростатическое давление, а равенство между собой диагональных компонентов шарового тензора определено законом Паскаля. В теории упругости выделение шаровой части обусловлено тем, что многие материалы по-разному сопротивляются всестороннему сжатию и сдвиговым напряжениям.

Шаровая часть тензора напряжений определяет так называемое среднее нормальное напряжение

Девиаторная часть в соответствии с этим.

Здесь, как это часто делается в работах по упругости и пластичности, для компонентов девиатора напряжений выделена специальная литера.

Девиатор напряжений можно привести к главным осям, которые совпадают с главными осями исходного тензора напряжений. Главные значения девиаторной части называются приведенными главными нормальными напряжениями: S{ = o_t — <�т, i = 1,2,3.

Характеристики девиатора напряжений играют важную роль в построении теорий прочности, поэтому обратим на них особое внимание. Первый инвариант девиатора напряжений равен нулю:

Второй инвариант играет большую роль в теории прочности и пластичности твердых тел. В силу равенства пулю следа девиатора напряжений этот инвариант представляется как I^d = —½ SijSij. Раскрывая эту запись, получим представление этого инварианта через компоненты тензора напряжений:

Это же выражение, записанное через главные значения, будет иметь вид

Модулем девиатора напряжений называют положительную величину.

Нормируя компонеты девиатора модулем .s, вводят в рассмотрение направляющий тензор напряжений

главные оси которого совпадают с главными осями тензора напряжений. Этот тензор имеет нулевой первый инвариант, а его второй инвариант равен единице в силу SijSij = 1, в чем легко убедиться. Эти условия приводят к тому, что направляющий тензор определяется лишь четырьмя числовыми характеристиками. Он используется для классификации напряженного состояния.

Нормальное и касательное напряжения на площадке. В ряде случаев интерес представляют напряжения, действующие на определенную площадку, ориентация которой определяется вектором единичной нормали гг. При этом важно выделить нормальную и касательную к данной площадке составляющие. Обозначим вектор напряжения на выделенной площадке через р_п и поставим задачу определения его проекций:

Для напряжения на площадке в силу (3.2) можно записать.

Рп = COS (n, х) + (Ту COS (n, у) + <7_Z COS (n, z).

В матричном виде это соотношение представится как р_п =V n, а в покомпонентной записи с использованием соглашения о суммировании как Pi_n = ctijUj .

Нормальное напряжение, действующее на рассматриваемую площадку сг_п, мы можем получить, проецируя вектор напряжения р_п на нормаль п:

Это выражение имеет простую форму, когда тензор напряжений V представлен в главных осях. В этом случае вектор нормали определяется в главных осях как п = (ni П2 пз)^т = (cos (n:ri) cos (n,#2) cos (n,?3))^T и предыдущее выражение приводится к простому соотношению.

Направление действия нормальной составляющей известно оно совпадает с нормалью. Что касается касательной проекции, то нам априори известна лишь плоскость ее действия — плоскость выделенной площадки. Если определены направления осей координат в этой плоскости, то проекции касательной составляющей напряжения р_п легко определяются из выражений, подобных предыдущему, в которых как единичный вектор используется орт соответствующей оси. Однако во многих случаях интерес представляет сама абсолютная величина касательной составляющей напряжения на площадке, безотносительно к направлению ее действия, поэтому определим ее значение, не вводя дополнительных координатных направлений в плоскости площадки. В этом случае будем рассматривать вектор т_п, действующий в плоскости площадки и ортогональный п.

Для определения величины касательного напряжения умножим скалярно на себя части уравнения (3.7):

В силу ортогональности векторов а_пп и т_п в правой части этого соотношения мы получаем сумму квадратов нормальной и касательной проекций:

а левая часть легко вычисляется:

Если для описания напряженного состояния использованы главные оси, то это выражение имеет особенно простой вид и окончательно.

При работе с полученными формулами используется очевидное соотношение, связывающее косинусы углов, составляемых нормалью к площадке п, с главными осями a? i, хг, ?'з :

Соотношения (3.8) — (ЗЛО) решают задачу определения нормальной и касательной составляющих напряжения на заданной площадке.

Интенсивность напряжений.

Интенсивность напряжений — величина, определяющая касательное напряжение на площадке, одинаково наклоненной к главным осям тензора напряжений октаэдрическое касательное иапряэюе}ше'.

Интенсивность напряжения выражается через инварианты и, следовательно, сама является инвариантом тензора напряжений. Эта скалярная характеристика напряженного состояния используется в теории пластичности, а также при формулировке условий прочности.