Обработка и отображение многоразмерной информации

В зависимости от задач исследований алгоритмы обработки полей могут быть существенно различными. С точки зрения математической статистики при анализе и обработке случайных полей, как и при исследовании случайных процессов, могут решаться задачи обнаружения, различения или оценки параметров сигнальных полей. По своей сути эти алгоритмы обработки случайных полей близки к соответствующим алгоритмам для случайных процессов [93, 97, 103, 140]. Так, при решении наиболее часто встречающейся в электрофизиологической практике задачи оценки параметров измеряемого поля вида.

где а = (а, а₂, …, а,") — вектор случайных параметров поля, включающий вектор существенных а' = (а, а₂, …, «/) и несущественных а» = (а_/+],…, а_т) параметров, алгоритм оптимальной обработки включает в себя систему формирования функции правдоподобия [103].

и вычисления максимума (8.75), соответствующего оптимальной оценке. В уравнении (8.75) величина р (сх') характеризует энергетическое отношение измеряемого поля к полю помехи:

а величина q (a') — корреляционный интеграл, формируемый на выходе системы пространственно-верменной обработки:

где 0(г, г₂) — обратно корреляционная функция поля помех, определяемая из уравнения.

Таким образом, основной операцией, осуществляемой системой пространственно-временной обработки, как и в одномерном случае, является формирование корреляционного интеграла (8.84).

Аналогично соответствующим алгоритмам случайного процесса определяются оптимальные алгоритмы обработки полей для случая обнаружения и различения полей (байесовские алгоритмы, а также алгоритмы оптимальной фильтрации [60, 75, 99]). Однако несмотря на то, что в теоретическом плане многомерная обработка случайных полей мало чем отличается от соответствующих одномерных алгоритмов, практическая реализация многомерных методов наталкивается на ряд принципиальных технических трудностей. Основной из них является большое увеличение объема исходных данных, подлежащих обработке. Так, если в одномерном случае для представления какой-либо информации требуется N отсчетов, то в четырехразмерном — N⁴ и т. д. Кроме того, сама процедура взятия отсчетов во времени и пространстве является очень сложной. Система, реализующая соответствующие оптимальные алгоритмы, также существенно усложняется по сравнению с одномерным вариантом. Примером этого может служить пространственновременной согласованный фильтр и система пространственно-временных интеграторов, реализующих процедуры вычисления корреляционного интеграла [93, 103, 113]. Существуют также значительные трудности передачи и представления многоразмерной информации. Все это приводит к тому, что для реализации даже простейших алгоритмов обработки полей требуются мощные вычислительные комплексы [24, 34, 93]. Однако, учитывая, что большинство ЭВМ ориентировано на последовательную обработку соответствующей информации, здесь также возникает ряд технических проблем. В работе [97], например, рассмотрены трудности, возникающие в процессе вычисления такой простейшей характеристики поля, как его пространственный спектр G_X(K|). Все это приводит к тому, что даже в области физических и радиотехнических измерений, имеющих уже значительную историю [93, 97, 194], в качестве основного метода используется интерференционный, сводящий многоразмерное поле к набору случайных процессов, а многоразмерный анализ — к многократному одноразмерному. В этой связи представляют большой интерес методы восстановления полноразмерных характеристик. поля по измерению его отдельных реализаций меньшей размерности (соответствующим сечениям и проекциям поля).

При полном отсутствии какой-либо информации о характеристиках поля для решения этой задачи требуется в каждый момент времени бесконечно большое число различных проекций. Однако если некоторые свойства поля априорно известны и структура поля не очень сложна, то такое восстановление возможно по ограниченному числу проекций или сечений. Например, пространственный спектр однородного изотропного поля <7(к_к) и «замороженного» поля можно выразить через линейный и временной спектр с помощью известных формул [140]:

где v = const — скорость движения пространственного возмущения «замороженного» поля.

В ряде случаев, особенно для решения обратных физиологических задач [34, 42, 72, 156, 158], большой интерес представляет восстановление пространственной структуры поля по его отдельным проекциям.

Рассмотрим общий случай восстановления пространственных характеристик поля по его проекциям в фиксированный момент времени. Этот случай имеет практическое значение, поскольку позволяет решить проблему получения по линейным проекциям так называемых моментных карт распределения биопотенциалов, играющих важную роль в теоретической физиологии и клинической медицине [4, 5, 158].

В основу алгоритмов восстановления пространственных характеристик поля могут быть положены методы восстановления структуры многомерных объектов по его проекциям [18, 34, 193]. Причем эти методы могут быть реализованы как непосредственно в пространстве сигналов, так и в пространстве Фурьс-спектров. Большинство из этих методов реализуется численными методами на ЭВМ.

Восстановление пространственной структуры поля по его проекции в заданный момент в пространстве сигналов можно осуществить, например, с помощью различных алгебраических методов [34].

Алгебраические методы основаны на представлении восстанавливаемого объекта в виде совокупности отсчетов функции его плотности в узлах декартовой решетки [193] и решении получающейся при этом системы уравнений.

Поясним сущность этих методов на следующем примере. Пусть необходимо восстановить плоскостное сечение поля Цх, у) с помощью его линейных проекций X (х) вдоль оси у (у может быть в общем случае направлена под произвольным углом):

Представим Цх, у) в виде совокупности значений А (/, /) в узлах квадратной декартовой решетки размером т и стороной а. Определим псевдопроекцию A(ij) как.

Причем в (8.89) суммирование осуществляется в пределах совокупности лучей шириной Ат = а/т, параллельных оси проецирования [193] (т.е. П (х) равна сумме плотностей A (i,/) в точках решетки, попадающих в предел луча проецирования шириной Ат). Из (8.89) следует, что каждая элементарная псевдопроекция описывается линейным уравнением с т² неизвестными I (ij). Если число проекций достаточно велико, то можно составить систему из т² уравнений (8.88) и решить ее относительно Цу). Следует, однако, подчеркнуть, что решение этой системы при достаточно большом т очень загруднительно и осуществляется обычно приближенными методами.

В методе проецирующих функций осуществляется растягивание каждой проекции вдоль направления проецирования с последующей суперпозицией результатов [34]. Например, для рассмотренного выше двумерного случая осуществляется растяжение каждой проекции А,(а) вдоль оси у в двумерную «проектирующую функцию» Цх, у) (рис. 8.3). Результат наложения на плоскости ху функций Цх, у) дает приближенное значение искомой функции:

Этот метод восстановления является весьма эффективным и точным, поэтому он нашел широкое применение при восстановлении различного рода изображений [34, 193].

Обратимся теперь к методам восстановления, реализуемым в пространстве спектров. В основе этих методов лежит теорема о проекциях и сечениях (см. § 2.2). Поскольку из этой теоремы следует, что описание проекции в пространстве сигналов соответствует описанию сечения в пространстве спектров, то, располагая набором различно ориентированных проекций, можно найти преобразование Фурье от искомой многоразмерной функции, а следовательно, и саму функцию. В общем случае для восстановления пространственных характеристик поля этим методом требуется очень большое число различных проекций и значительный объем вычислений. Однако в тех случаях, когда имеется какая-либо априорная информация о свойствах восстанавливаемого поля, число проекций можно существенно сократить. Так, в случае кругосимметричного поля с разделяющими переменными (§ 8.3) или ограниченным спектром восстановление полноразмерного поля можно осуществить по ограниченному числу проекций.

Например, функция А (х, у), имеющая ограниченных спектр к₀, после представления с помощью квадратной сетки отсчетов тхт может быть точно восстановлена с помощью единственной проекции под критическим углом [34, 193].

где А и В — произвольные числа, не имеющие общих сомножителей. Соответствующее этой проекции сечение спектра имеет вид полинома степени [А + В](т — 1), причем коэффициенты полинома представляют собой отсчеты функции А (/я / /с₀; jn / к₀) — Таким образом, определив критическое сечение, можно в принципе найти его коэффициенты, а следовательно, и отсчеты А,(т/к₀; т/к₀). Для вычисления функции отсчетов по полиному необходимо располагать соответствующими отсчетами сечения спектра, которые могут быть получены дискретизацией линейной проекции (с частотой 2кг₀) и вычислением ДПФ с помощью быстрого преобразования Фурье [34].

Все существующие методы восстановления характеристик многоразмерных объектов весьма трудоемки и требуют больших затрат машинного времени.

В заключение остановимся на некоторых вопросах регистрации и отображения многоразмерной информации.

Отображение отдельных реализаций биопотенциальных полей может осуществляться как с помощью трехмерных индикаторов, так и путем восстановления его полноразмерной картины по линейным и двумерным проекциям.

Трехмерный индикатор позволяет непосредственно наблюдать объемное распределение поля биопотенциалов, что имеет большое значение для оперативного анализа поступающей информации и физиологической интерпретации получаемых результатов. В основу построения индикаторов подобного типа могут быть положены различные принципы: стереоскопическое отображение, применение электронно-лучевых трубок (ЭЛТ) с вращающимися экранами, объемные матричные индикаторы и т. д.

В индикаторах стереоскопического типа используется эффект бинокулярного зрения. Они могут быть построены на основе двух ЭЛТ (тонотропов), повернутых на 90° относительно друг друга, между экранами которых устанавливается под углом 45° полупрозрачный экран с зеркальным серебряным покрытием. Для наблюдения объемной картины исследуемого объекта используются очки с поляризованными стеклами.

В трехмерных индикаторах на базе стереотонов объемное изображение формируется путем последовательного высвечивания точек на вращающемся люминофорном экране, помещенном внутри ЭЛТ. Скорость вращения подбирается таким образом, чтобы экран был невидим (около 25 об/мин). Возбуждение определенных точек внутри полученного от вращения объема осуществляется электронным лучом, управляемым согласованно с углом поворота экрана.

Матричные индикаторы представляют собой объемную конструкцию (проволочную или тонких трубок), свечение в которой создается в узлах соединения соответствующих элементов матрицы при возбуждении управляющим напряжением.

Известны и другие конструкции трехмерных индикаторов, использующие, например, в качестве физического носителя гель, помещенный в прозрачный сосуд, с регистрацией объемного изображения с помощью специальной иглы с чернилами, а также различные механические системы. Следует подчеркнуть, что несмотря на большое количество способов, предложенных для отображения трехмерной информации, большинство из них еще не вышло из стадии экспериментального проектирования. Поэтому наиболее широко в настоящее время испо/ьзуются различные плоскостные и линейные индикаторы на базе ЭЛТ. Для отображения трехмерной информации на плоскости применяют модуляцию электронного луча по яркости или задают третью координату в цифровой форме путем высвечивания на специальном табло.

Определенные перспективы для отображения многоразмерной информации открывают голографические методы. Однако независимо от принципиальной возможности полного отображения на соответствующем индикаторе полноразмерной реализации исследуемого поля представляют интерес методы, понижающие размерность исходного поля без потери информации. В основу этих методов может быть положена теорема А. Н. Колмогорова [34], согласно которой каждая непрерывная функция/(х, х₂,…, х") действительных переменных, 0 < х_и х₂,…, х" < 1, может быть представлена в виде суммы 2п + 1 суперпозиций непрерывных функций одного переменного у и суммы п непрерывных функций у одного переменного:

где функции |/₍у не зависят от /(•), а р, однозначно определяется функцией /{?). Использование этой теоремы открывает принципиальную возможность построения систем отображения и обработки многоразмерной информации на основе алгоритмов и устройств, предназначенных для отображения и обработки функции одного переменного (случайных и детерминированных процессов).