Касательные напряжения при изгибе

В общем случае изгиба в сечениях изгибаемого стержня, помимо изгибающего момента, действует поперечная сила, и следовательно, изгибающий момент не является постоянным, а изменяется по длине стержня. Следовательно, будут изменяться и нормальные напряжения по длине балки, связанные с изгибающими моментами зависимостью (10.8). Но в таком случае равновесие любого выделенного элемента стержня возможно лишь при наличии касательных напряжений.

Опытным путем легко убедиться в том, что в общем случае изгиба в сечениях стержня возникают касательные (сдвигающие или скалывающие) напряжения по площадкам, параллельным нейтральному слою. Например, в деревянных балках, материал которых сравнительно слабо сопротивляется скалыванию вдоль волокон, при перегрузке у торцов балки часто появляются трещины по нейтральному слою или вблизи от него (рис. 10.19).

Рис. 10.19.

11а основании закона парности касательных напряжений можно утверждать, что при поперечном изгибе будут существовать и касательные напряжения в сечениях, нормальных к нейтральному слою.

Рассмотрим бесконечно малый элемент стержня в условиях изгиба с поперечной силой (рис. 10.20, а). Для количественной оценки касательных напряжений отсечем от него горизонтальной плоскостью нижнюю (заштрихованную) часть сечения и рассмотрим ее равновесие (Л₀ — площадь отсеченной части поперечного сечения). Обозначим равнодействующие нормальных напряжений по левой и правой граням выделенного элемента через N_{ и Л^г₂. Вследствие различия в этих усилиях, вызванного изменением изгибающего момента по длине элемента, по верхней его грани должно действовать касательное усилие Г, обусловливающее возникновение касательных напряжений т (рис. 10.20, б).

Составив уравнение равновесия для выделенной части элемента, получим.

Рис. 10.20.

Значения равнодействующих нормальных напряжений с учетом формулы (10.8) запишем в следующем виде:

где S°^TC- статический момент отсеченной площади сечения А₀ относительно нейтральной оси 2.

Приняв как допущение, что касательные напряжения т по ширине верхней площадки элемента распределяются равномерно (см. рис. 10.20, б), запишем.

где Ь (у) — ширина поперечного сечения на расстоянии у от нейтральной оси.

Подставив (10.12) и (10.13) в уравнение (10.11), получим.

откуда, с учетом того, что М₂ — М_{ = dМ, a dM/dx = Q, найдем.

Формула (10.14) была получена в 1855 г. выдающимся русским инженером-мостовиком Д. И. Журавским в ходе разработки методов расчета деревянных раскосных ферм при проектировании и строительстве Петербургско-Московской железной дороги, поэтому ее часто называют формулой Журавского.

Формула Журавского позволяет вычислить значения касательных напряжений при любой форме сечения. На основании закона парности касательных напряжений эту формулу можно использовать и для определения напряжений, действующих в поперечном сечении. Распределение касательных напряжений зависит от изменения статического момента S°^TC и ширины сечения Ь (у), так как величины Q и 1_г являются постоянными.

В качестве примера рассмотрим прямоугольное сечение (рис. 10.21, а), для которого определим по формуле (10.14) напряжения в слое, отстоящем от нейтральной оси на величину у_х.

Рис. 10.21.

Статический момент площади сечения, расположенной ниже этого уровня, равен

Подставив в полученное выражение значение расстояния от центра тяжести заштрихованной площади А₀ до нейтральной оси получим

Подставив в формулу (10.14) полученное выражение 5°^тс и значение момента инерции для прямоугольного сечения (см. прил. 5) /₂ = (Л/г³)/12, получим

Последнее выражение представляет собой уравнение параболы, из которого следует, что наибольшее значение касательное напряжение принимает в точках нейтральной оси (при у_х = 0), а в крайних точках сечения (при у_х = = ±0,5/?) касательные напряжения равны нулю.

Таким образом, для прямоугольного сечения.

По аналогии для круглого сечения (рис. 10.21, 6)

Швеллерное или двутавровое (рис. 10.22, а и 6) сечения можно рассматривать как составленные из прямоугольников, поэтому для них последовательность рассуждений аналогична. Однако максимальные напряжения в данном случае будут иными, и сама эпюра напряжений — более сложной. Это объясняется тем, что для двух бесконечно близко расположенных точек 1 и 2 ширина поперечного сечения Ь (у) различна, причем изменяется она при переходе от стойки к полке скачкообразно. А это, в свою очередь, приводит к скачкообразному изменению эпюры касательных напряжений т от ординаты ij к ординате х₂.

Рис. 10.22.

Касательные напряжения возникают также в полках прокатных профилей. На рис. 10.22 показан характер действия касательных напряжений как в стенках, так и в полках швеллера и двутавра. В пределах полок напряжения распределяются по более сложному закону и вычисляются методами теории упругости. Касательные напряжения в стенках профилей изменяются, как и в прямоугольном сечении, но параболическому закону.

В углах двутавровых и швеллерных сечений происходит концентрация касательных напряжений. Для уменьшения ее влияния сопряжение стенок и полок в прокатных профилях осуществляется с небольшими закруглениями.