Числовые характеристики рассеяния случайной величины

Как ни важны средние характеристики, но не менее важной характеристикой массива числовых данных является поведение остальных членов массива по отношению к среднему показателю, на сколько они отличаются от средних показателей, как много членов массива значительно отличаются от среднего. На тренировках по стрельбе говорят о кучности результатов, в статистике исследуют характеристики рассеяния (разброса).

Отличие какого-либо значения х, от среднего значения х называют отклонением и вычисляют как разность х, — х. При этом отклонение может принимать как положительные значения, если число больше среднего, так и отрицательные значения, если число меньше среднего. Однако в статистике часто важно иметь возможность оперировать одним числом, характеризующим «кучность» всех числовых элементов массива данных. Любое суммирование всех отклонений членов массива приведет к нулю, так как положительные и отрицательные отклонения взаимно уничтожатся. Чтобы избежать обнуления, используют для характеристики рассеяния квадраты разностей, точнее, среднее арифметическое квадратов отклонений. Такую характеристику рассеяния называют выборочная дисперсия.

Чем больше дисперсия, тем больше рассеяние значений случайной величины. Для вычисления дисперсии используют приближенное значение выборочного среднего х с запасом на один разряд по отношению ко всем членам массива данных. В противном случае при суммировании большого количества приближенных значений будет накапливаться существенная ошибка. В связи с размерностью числовых значений следует отметить один недостаток такого показателя рассеяния, как выборочная дисперсия: единица измерения дисперсии D является квадратом единицы измерения значений х, характеристикой которых дисперсия является. Чтобы избавиться от этого недостатка, в статистике введена такая характеристика рассеяния, как выборочное среднее квадратичное отклонение, которое обозначается символом а (читается «сигма») и вычисляется по формуле.

В норме более половины членов массива данных отличаются от среднего показателя меньше, чем на величину среднего квадратичного отклонения, т. е. принадлежат отрезку [х — а; х + а]. Иначе говорят: средний показатель с учетом разброса данных равен х ± а.

Введение

еще одной характеристики рассеяния связано с размерностью членов массива данных. Все числовые характеристики в статистике вводятся с целью сравнения результатов исследования разных числовых массивов, характеризующих разные случайные величины. Однако сравнивать средние квадратичные отклонения от разных средних величин разных массивов данных не показательно, особенно если еще и размерность этих величин отличается. Например, если сравнивается длина и вес какихлибо объектов или рассеяния при изготовлении микрои макроизделий. В связи с вышеизложенными соображениями вводится характеристика относительного рассеяния, которая называется коэффициентом вариации и вычисляется по формуле.

Для подсчета числовых характеристик рассеяния значений случайной величины удобно использовать таблицу (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Подсчет числовых характеристик рассеяния значений случайной величины.

В процессе заполнения этой таблицы находится выборочное среднее х, которое в дальнейшем будет использоваться в двух видах. Как итоговая средняя характеристика (например, в третьем столбце таблицы) выборочное среднее х должно быть округлено до разряда, соответствующего наименьшему разряду какого-либо члена массива числовых данных х_г Однако этот показатель используется в таблице при дальнейших вычислениях, и в этой ситуации, а именно при вычислениях в четвертом столбце таблицы, выборочное среднее х должно быть округлено с запасом на один разряд по отношению к наименьшему разряду какого-либо члена массива числовых данных х_{.

Итогом вычислений при помощи таблицы типа табл. 6.9 будет получение значения выборочной дисперсии, а для записи ответа надо на основе значения выборочной дисперсии посчитать значение среднего квадратичного отклонения а.

В ответе указывается: а) средний результат с учетом разброса данных в виде х±о; б) характеристика стабильности данных V. В ответе следует оценить качество коэффициента вариации: плохой или хороший.

Допустимым коэффициентом вариации как показателем однородности или стабильности результатов в спортивных исследованиях считается 10—15%. Коэффициент вариации V = 20% в любых исследованиях считается весьма большим показателем. Если объем выборки п > 25, то V > 32% — очень плохой показатель.

Например, для дискретного вариационного ряда 1; 5; 4; 4; 5; 3; 3; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 3; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 3; 3; 3; 3; 3 табл. 6.9 будет заполнена следующим образом (табл. 6.10).

Таблица 6.10

Пример подсчета числовых характеристик рассеяния значений.

Ответ: а) средняя характеристика с учетом разброса данных равна х ± а = = 3 ± 1,4; б) стабильность полученных измерений находится на низком уровне, так как коэффициент вариации V = 48% > 32%.

Аналог табл. 6.9 может быть использован и для вычисления характеристик рассеяния интервального вариационного ряда. При этом варианты х_г будут заменены представителями промежутков x_vja абсолютные частоты вариант f_{ — на абсолютные частоты промежутков f_v

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы.

Выводы математической статистики правдоподобны, если обрабатывается информация о массовых явлениях.

Обычно исследуется выборка из генеральной совокупности объектов, которая должна быть репрезентативна.

Опытные данные, полученные в результате исследования какого-либо свойства объектов выборки, представляют собой значение случайной величины, поскольку исследователь заранее не может предсказать, какое именно число будет соответствовать определенному объекту.

Для выбора того или иного алгоритма описания и первичной обработки опытных данных важно уметь определять тип случайной величины: дискретная, непрерывная или смешанная.

Дискретные случайные величины описываются дискретным вариационным рядом и его графической формой — полигоном частот.

Смешанные и непрерывные случайные величины описываются интервальным вариационным рядом и его графической формой — гистограммой.

При сравнении нескольких выборок по уровню сформированное™ некоторого свойства используют средние числовые характеристики и числовые характеристики рассеяния случайной величины по отношению к средним.

При вычислении средней характеристики важно правильно выбрать вид средней характеристики, адекватный области ее применения. Структурные средние значения мода и медиана характеризуют структуру расположения вариант в упорядоченном массиве опытных данных. Количественное среднее значение дает возможность судить о среднем размере вариант (выборочная средняя).

Для вычисления числовых характеристик рассеяния — выборочной дисперсии, среднего квадратичного отклонения и коэффициента вариации — эффективен табличный способ.