Предисловие. 
Теоретическая механика

Предлагаемый читателю учебник «Теоретическая механика» является четвертым изданием фундаментального курса университетского образования по специальностям «Математика, прикладная математика», «Механика, прикладная математика». Учебник написан на основе тридцатилетнего опыта чтения курсов по механике для студентов — механиков и математиков механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Для успешного освоения материала необходимы знания основных математических предметов в объеме первых двух курсов механико-математических факультетов. Речь идет о таких дисциплинах, как математический анализ, аналитическая и дифференциальная геометрия, алгебра, дифференциальные уравнения. Изложение некоторых разделов механики ведется с привлечением понятий функционального анализа (обобщенные функции, функциональные пространства). Автор не является сторонником упрощенных схем изложения тех разделов механики, где по существу требуется использование «высокой» математики (например, теории удара). Проще объяснить слушателю существо дела на языке современной математики, нежели пытаться «объяснить» что-то путем не всегда оправданных расплывчатых рассуждений.

В учебнике используется единый подход при построении моделей классической механики и механики сплошных сред. В основу получения соответствующих уравнений положены вариационные принципы, облегчающие построение механических моделей и получение граничных условий в случае сплошных сред. Модели классической механики описываются конечным числом степеней свободы и дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных, а модели механики сплошных сред имеют счетное число степеней свободы и описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Но движения и тех и других механических систем подчиняются одинаковым вариационным принципам.

В учебнике нет главы под названием «Статика», поскольку равновесие механической системы представляется как частный класс решений динамических уравнений. В настоящем учебнике этой проблематике посвящен параграф 4.12, в котором рассматривается задача о равновесии механической системы на основе принципа возможных перемещений и доказывается теорема об устойчивости положения равновесия. Автор считает, что этому разделу механики следует посвятить ряд практических занятий, на которых ознакомить студентов с основами геометрической статики для твердого тела и с применением принципа возможных перемещений для определения положений равновесия и реакций связей.

С разделом «Статика» можно ознакомиться в учебниках [2, 4, 7] из основного списка литературы.

Читатель, ознакомившийся с материалом учебника и усвоивший основные идеи, изложенные в нем, должен понимать в своей практической деятельности, какая перед ним стоит задача и с помощью каких инструментов она может быть решена. Учебник содержит набор примеров, иллюстрирующих теоретические положения, которые могут в ряде случаев служить подсказкой для построения новых механических моделей. В конце учебника приведены контрольные вопросы, отвечая на которые, читатель может определить степень усвоения материала, обратить внимание на ключевые идеи, изложенные в соответствующих главах. Изучение теоретического материала должно сопровождаться практическими семинарскими занятиями. Для углубленного изучения механики представляется полезным предложить студентам вычислительный практикум по теоретической механике, содержащий набор задач с демонстрацией интересных механических эффектов (параметрический резонанс, анизотропное трение, автоколебания и т. д.). Вычислительный практикум можно реализовать на основе известных пакетов программ для математических вычислений, например Mathematica, Matlab, Mathcad и др.

Основной задачей механики, как и иной естественной науки, является предсказание поведения материальных объектов. Инструментом в этом деле выступают модели, построенные на основе ряда других моделей математических дисциплин. Объяснить те или иные движения материальных объектов с заданной точностью можно с помощью различных моделей. Здесь нет «теоремы единственности». Из множества моделей следует отдавать предпочтение наиболее простым. Усложнение модели оправдано в тех случаях, когда простая модель не объясняет результаты эксперимента или не удовлетворяет требованиям точности измерений.

Заметим, что мы часто не понимаем физическую природу используемых математических моделей, например непонятно, почему две массы притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения. Однако математический закон «работает» и позволяет объяснить движения объектов Солнечной системы.

В настоящем издании учебника исправлены замеченные опечатки, обновлен текст первой главы (введения) и предисловия, добавлено приложение 4. В список литературы включены новые книги по механике, изданные за период между третьим (2003 г.) и четвертым изданиями. В конце учебника помещены вопросы по каждой главе, цель которых — помочь читателю проверить свое понимание изученного материала и акцентировать свое внимание на основных идеях.

Двойная нумерация формул в каждом параграфе сохраняется при ссылках внутри соответствующей главы. При ссылках на формулы из другой главы добавляется впереди еще одна цифра. Определения имеют двойную индексацию: параграф, порядковый номер в параграфе. Теоремы, леммы, следствия и примеры нумеруются при необходимости внутри параграфов одной цифрой. Для понимания текста рекомендуется ознакомиться со списком сокращений и обозначений.

Автор надеется, что учебник окажется полезным студентам, аспирантам, в программу обучения которых включен курс теоретической механики.

Студенты, успешно освоившие программу курса «Теоретическая механика» по данному учебнику и материал практических занятий, должны:

знать

• • основные модели механических систем;
• • виды движений материальных объектов и связанные с ними формулы и теоремы;
• • основные определения и законы динамики;

уметь

• • применять полученные теоретические знания на практике;
• • предлагать механические модели материальных объектов;
• • составлять и решать уравнения движения материальных объектов;

владеть

• • методами исследования динамики материальных объектов;
• • математическим аппаратом, описывающим динамику материальных объектов.

В первую очередь курс рассчитан на студентов получающих университетское образование по естественнонаучным специальностям, в которых изучаются те или иные формы механических движений. Учебник будет полезен студентам, получающим образование по инженерным специальностям, для углубления своих знаний по теоретической механике. Научные работники и инженеры, сталкивающиеся в своей деятельности с механическими проблемами, могут найти в предлагаемом учебнике подсказки для их решения.

Подготовка к печати настоящего четвертого издания частично финансировалась за счет средств Федеральной целевой программы RFMEFI 57714X0079.