Удар двух тел. 
Теорема карно

Рассмотрим неупругий удар двух тел (рис. 59). Пусть контакт двух тел в момент удара происходит в точке К ив — нормаль к общей касательной плоскости в точке контакта. Обозначим через т_п J_n /=1,2, массы тел и тензоры их инерции относительно центров масс С" /=1, 2. Применяя теоремы об изменении количества движения и момента количеств движения для каждого тела, получим.

такта, Рис. 59.

где а,= С, К, i = 1, 2. Уравнения (4.1) дополняются условием на изменение при ударе нормальных компонент скоростей точек тел, совпадающих с точкой контакта,.

где к — коэффициент восстановления, 0″ /= 1. 2, из уравнений (4.1) в (4.2), найдем величину ударного импульса.

и далее из (4.1) приращения скоростей центров масс и угловых скоростей тел.

где R заменяется согласно (4.3). При к = 1 имеет место абсолютно упругий удар, а при к = 0 — абсолютно неупругий удар.

П. Если тела представляют собой шары, центры масс которых совпадают с их геометрическими центрами, то всегда а, хп = а₂хп = 0 (векторы а, коллинеарны вектору п). Тогда согласно (4.3), (4.4).

Заметим, что если одно из тел достаточно массивно и неподвижно, например т₂ = ||У₂II = °°, v₂ = cj₂ = 0, то формулы (4.3), (4.4) совпадают с формулами (3.9). (3.10).

При неупругом ударе двух тел с коэффициентом восстановления к кинетическая энергия системы убывает за счет перехода ее части в тепло. Вычислим изменение кинетической энергии.

Величина Т* называется кинетической энергией потерянных скоростей. Согласно соотношениям (4.1), (4.3).

Соотношение (4.7) составляет содержание теоремы Карно: при неупругом ударе двух тел потеря кинетической энергии равна кинетической энергии потерянных скоростей, умноженной на положительный коэффициент (1 — к)/( 1 + к). При к= 1 (абсолютно упругий удар) кинетическая энергия сохраняется, а при к = 0 (абсолютно неупругий удар) потеря кинетической энергии наибольшая и равна кинетической энергии потерянных скоростей.

Теорема Карно, доказанная в случае неупругого удара двух тел. очевидным образом обобщается на случай удара тела и материальной точки или двух материальных точек. Для материальной точки достаточно положить тензор инерции равным нулю и отбросить уравнения, определяющие изменение угловой скорости.