Узловые уравнения установившегося режима

Рассмотрим пример направленного графа электрической сети (рис. 3.7). Для удобства записи в матричной форме параметров ветвей присвоим каждой ветви ее порядковый номер (на рис. 3.7 — курсив). Составим матрицу соединений М для этого графа:

Умножим эту матрицу на матрицу токов ветвей, будем иметь:

Полученное соотношение является первым законом Кирхгофа в матричной форме записи.

Так как к узлам графа электрической сети еще присоединены другие поперечные ветви с ЭДС и проводимостью шунта, то задающий ток в (3.11) включает в себя также токи данных ветвей:

Здесь J_r — матрица токов генерации (ветви с ЭДС), которые определяются через мощности генерации; J_n — матрица токов нагрузки, которые определяются через мощности нагрузки (имеет обратное направление — от узла); J_Y ~ матрица токов в проводимости шунтов, которые зависят от проводимости шунта из матрицы Y,_v и напряжения в узле из матрицы U (также имеет обратное направление — от узла, поскольку моделирует потребление мощности).

Г Умножим транспонированную матрицу соединений М на матрицу узловых напряжений, получим.

или.

По закону Ома в матричной форме записи имеем.

или.

Подставив в (3.11) выражение для матрицы токов ветвей (3.16) и затем (3.14), получим.

Введем обозначение.

тогда (3.17) приобретет вид

Полученное соотношение является уравнением узловых напряжений (потенциалов) в матричной форме записи. Матрицу Y называют матрицей узловых проводимостей электрической сети. Рассмотрим структуру этой матрицы, для чего выполним матричные перемножения в (3.18). Заметим, что обратная матрица сопротивлений ветвей легко получается в силу своего диагонального вида — ее элементы суть обратные величины к сопротивлениям ветвей.

Вначале перемножим первые две матрицы матричного произведения:

т Полученную матрицу умножим справа на матрицу М. В результате получим.

Из полученной матрицы можно сделать следующие выводы о вычислении ее элементов.

1. Элементы, расположенные на диагонали матрицы, вычисляются как сумма проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу:

где Y_u — диагональный элемент матрицы Y; Z j — сопротивление j-й ветви; со, — множество номеров узлов, связанных с г-м узлом.

2. Недиагональные элементы равны проводимости ветви, взятой с противоположным знаком, имя которой состоит из номеров узлов, соответствующих номеру строки и номеру столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Матрица Y является симметричной матрицей.

Запишем узловое уравнение для узла с номером к

Объединив подобные члены, получим, что в диагональные элементы матрицы Y войдут дополнительные слагаемые Y_Ni:

т. е. диагональный элемент будет равен сумме проводимостей всех подходящих к i-му узлу ветвей, включая поперечную ветвь — шунт Y_m.

Задающие токи узлов в (3.19) будут состоять только из токов генерации и токов нагрузки.

В случае отсутствия связей с нейтральной плоскостью N система уравнений (3.19) нс имеет единственного решения, так как в этом случае определитель матрицы Y равен нулю. Сумма всех задающих токов в такой сети равна нулю:

Следовательно, среди всех п узлов можно выделить узел, например, с номером п, ток в котором равен:

Для уравнений узловых напряжений это означает, что одно уравнение лишнее, т. е. зависит от остальных уравнений и может быть получено через сумму всех остальных уравнений. Поскольку ток в этом узле может быть получен из баланса токов в сети (3.27), его называют балансирующим. Обычно эго шины мощной электростанции или системы.

Таким образом, из системы (3.19) исключается одно уравнение и тогда получается система независимых линейных уравнений порядка п — 1. Но гак как число неизвестных напряжений попрежнему равно то в одном из узлов следует задать напряжение по величине и фазе так, чтобы все напряжения вычислялись относительно этого извеегного напряжения. Такой узел в сети называется базисным. Обычно фазу напряжения базисного узла принимают равной нулю, т. е. вектор напряжения базисного узла совмещают с действительной осью. Остальные узлы называют независимыми узлами.

Во многих случаях балансирующий узел и базисный узел совмещают, и в дальнейшем будем считать, что это один и тот же узел.

Таким образом, с исключением уравнения для базисного балансирующего узла с номером п будем иметь систему уравнений (3.19) с числом уравнений п — 1, однако в эти уравнения будет входить слагаемое с заданным напряжением базисного узла.

Изменим номер базисного балансирующего узла. Пусть его номер есть 0 (ноль). Тогда уравнение (3.19) приобретет следующий вид:

где Y₀ — матрица проводимостей ветвей, связывающих независимые узлы с базисным балансирующим узлом; U₀ — напряжение базисного узла (скаляр).

Матрица узловых проводимостей в (3.28) имеет порядок п — 1 и определятся через матрицу инциденций М, в которой нет одной строки, соответствующей балансирующему узлу.

Необходимо заметить, что во всех уравнениях, где одновременно присутствуют токи и напряжения: (3.15), (3.16), (3.17), (3.19), (3.24) и (3.28), напряжения даны в фазных значениях, хотя индекс (буква «ф») для простоты не записывался. Эти же уравнения можно считать записанными и для линейных напряжений, однако токи будут увеличенными в раз и для вычисления истинных токов их следует уменьшать в %/з .