Продольные колебания стержней

Техническая теория [3]. Пусть стержень, отнесенный к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, совершает продольные колебания^[1]. Параметры стержня являются функциями только одной продольной координаты х. По гипотезе плоских сечений любые точки, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси стержня, имеют одинаковые перемещения и = и (х), v = w = 0. Все компоненты тензоров напряжений и деформаций, кроме ст_п

и 8_И, считаются пренебрежимо малыми. Выражения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии и потенциала внешних сил имеют следующий вид:

о.

Приведенные выражения позволяют решать задачу продольных колебаний вариационными методами. Продольные колебания представляются уравнением Уточненная теория продольных колебаний стержней. Эта теория учитывает влияние поперечных деформаций (е₂₂ = s₃₃ = -ре_п). Поправка вводится только в выражение для кинетической энергии:

где с₀ — скорость распространения продольных волн (см. параграф 7.5). Полярный момент инерции сечения

Уравнение продольных колебаний принимает вид.

Краевые и начальные условия остаются без изменения.

• [1] Подробное исследование свободных продольных колебаний приведено в книге: Ширу-нов Г. Н. Напряжения и деформации упругих стержней при свободных колебаниях. СПб., 2013.