Использование симметрии конструкции при решении задач динамики

Определение частот свободных колебаний представляет собой относительно трудоемкую задачу. Поэтому следует пользоваться возможными упрощениями при решении этой задачи. Заметное снижение трудоемкости вычислений можно получить при расчете симметричных систем. Прежде всего уточним понятие симметричной системы при решении задач динамики. Система является симметричной, если она имеет симметричную геометрическую схему, одинаковые жесткости в симметрично расположенных сечениях и элементах и симметричное расположение масс.

Упрощение достигается за счет разделения характеристического уравнения (2.7) при одной оси симметрии на два уравнения меньшего порядка. При этом сумма порядков двух уравнений остается равной порядку исходного уравнения. Разделения уравнения (2.7) можно достичь двумя путями — либо использованием групповых перемещений, либо разделением системы по оси симметрии на две половины.

При первом подходе число групповых перемещений равно числу степеней свободы, но эпюры от групповых единичных сил получаются либо симметричными, либо кососимметричными. В результате при определении перемещений некоторые побочные коэффициенты оказываются равными нулю, что и приводит к разделению матрицы, А на две:

При втором подходе сразу рассматривается только половина системы. При этом нужно быть внимательным, назначая граничные условия в месте разделения системы, т. е. на оси симметрии. Рассмотрим, например, симметричную систему, представленную на рис. 2.7, а. В ней /и₃= т_{ El = const. В целом для системы п = 3.

На рис. 2.7, 6, в изображены симметричные формы колебаний, а на рис. 2.7, г — кососимметричная форма (на рис. 2.7, 6, г показаны групповые единичные силы). Изображенные формы колебаний позволяют назначить граничные условия на оси симметрии для половины системы.

На рис. 2.8, а изображены граничные условия для симметричных колебаний. На оси симметрии отсутствует поворот, но имеется вертикальное.

Рис. 2.7. Разложение колебаний симметричной системы.

Рис. 2.8. Граничные условия для половины симметричной системы смещение. Следовательно, п_с = 2. На рис. 2.8, б представлены граничные условия для кососимметричных колебаний. На оси симметрии имеется поворот, ио отсутствует линейное смещение.

Следовательно, и_кс= 1, а п = п_с + п_кс= 2 + 1 = 3. Но вместо определителя третьего порядка составляются два определителя — первого и второго порядков:

Вычисление этих двух определителей существенно легче, чем вычисление одного определителя третьего порядка.

На рис. 2.9 показано назначение граничных условий для рамы, у которой на оси симметрии находится стержень.

Рис. 2.9. Назначение граничных условий для рамы Пример 2.3. Определим частоты свободных колебаний рамы, представленной на рис. 2.10, а. Пусть EJ = 120 кН • м²; от = 0,2 т/м.

Решение

Заменим распределенную массу сосредоточенными массами (рис. 2.10, б). Для этого распределенную массу умножаем па половину длины стержней, примыкающих к рассматриваемому узлу.

Рама имеет ось симметрии, поэтому разделим ее на две части по оси симметрии и отдельно определим частоты, соответствующие симметричным и кососимметричным формам колебаний. На рис. 2.11 представлены граничные условия половины рамы для симметричных и кососимметричных форм колебаний.

В качестве примера определим частоты кососиммстричных колебаний. Система имеет четыре степени свободы (см. штриховые связи на рис. 2.11, б): от, =.

Рис. 2.10. Замена распределенной массы сосредоточенными массами.

Рис. 2.11. Граничные условия для симметричных (а) и кососимметричных (б).

форм колебаний.

= 3т; т., = Зти; т₃ = 5 т; т_л = (4 + 5 + 19 + 15)т = 43/и. Задачу решим методом перемещений в матричной форме [ 151. Матрица масс имеет вид.

Основная система метода перемещений показана на рис. 2.12, а. Ниже представлены матрица жесткости необъединенных между собой элементов 7-го порядка и матрица деформаций стержней от единичных перемещений по направлению добавленных связей:

Матрицу реакций от внешней нагрузки вычислим, используя эпюры на рис. 2.12, б —г (на этих эпюрах и ниже ординаты изгибающих моментов имеют размерность в метрах, гак как эпюры строятся от безразмерных сил). От единичной силы, приложенной по направлению перемещения четвертой массы, эпюры нс будет, а будет только реакция в связи 3: r_:tF= -1. Поскольку имеются четыре.

Рис. 2.12. Статический расчет рамы методом перемещений варианта нагружения, то матрица реакций от внешней нагрузки в дополнительных связях будет иметь размер 3×4:

Используя систему MATLAB, вычислим ординаты изгибающих моментов от узловой нагрузки: S = -ka (a'ka) 'R_n (здесь и далее в матричных вычислениях штрих обозначает транспонирование матрицы), или.

Эпюры, построенные по первым трем столбцам, суммируются соответственно с эпюрами M’lp М_р Мдр В результате получим эпюры М, М₂, М₃(рис. 2.12, д—ж). Эпюра, построенная по четвертому столбцу, будет эпюрой М₄ (рис. 2.12, з).

После построения эпюр определим перемещения от единичных сил по направлению возможных перемещений масс. Для этой цели составим матрицу податливости системы для заданных перемещений. Чтобы нагрузка оказалась в узлах, разделим нагруженные стержни на два элемента и введем дополнительные расчетные сечения (рис. 2.12, г) (в кружках — номера стержней). Матрицу податливости вычислим по формуле В = b’fb. Имеем.

По эпюрам М_р М₂, М₃, М₄ составим матрицу усилий в заданной системе:

По вышеприведенной формуле выполним вычисления и получим матрицу податливости четвертого порядка:

Матрица масс имеет вид.

Далее в командах вычислительной системы MATLAB выполним следующие операции: А = В*М; [v, d] = cig (A); w = sqrt (inv (d)).

В результате выполнения этих операций получаем круговые частоты собственных колебаний: со, = 1,10 с^-1; со₂ = 12,47 с^-1; co_:i = 13,40 с^-1; со₄ = 17,86 с^-1.

Аналогично вычисляются частоты, соответствующие симметричным формам колебаний.

Упражнение 2.2. Определите частоты, соответствующие симметричным формам колебаний для рамы из примера 2.3 (см. рис. 2.11, а) (при решении задачи методом сил можно использовать программу из приложения 1.1).