Более сложные задачи динамики сооружений

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• • типы волн, возникающих при землетрясении;
• • спектральный метод расчета на сейсмическое воздействие, но СНиП; уметь
• • проводить расчет на сейсмическое воздействие с использованием акселерограмм;
• • пользоваться аналитическим решением при расчете на импульсное воздействие;

владеть

• • спектральным методом при расчете рам для сейсмического района;
• • расчетом с использованием ортогональности главных форм колебаний.

Использование ортогональности главных форм колебаний

Рассмотрим процедуру использования ортогональности главных форм колебаний без учета диссипативных сил. В общем случае выражения для перемещения масс примут вид (2.14):

Заменим в этих выражениях силы инерции их значениями (Д.4) и перепишем все неизвестные члены влево. В итоге получим неоднородную систему дифференциальных уравнений:

Для решения этой системы уравнений необходимо иметь закон изменения динамического воздействия во времени, что делает правую часть уравнений известной. Но и в этом случае аналитическое решение для систем со многими степенями свободы представляется чрезмерно громоздким [14].

Решение системы уравнений (5.1) можно упростить, если воспользоваться свойством ортогональности главных форм колебаний. Для этой цели можно использовать матрицу собственных нормированных векторов, выдаваемых системой MATLAB в результате приведенной выше операции (см. параграф 2.2). Для одного любого столбца из матрицы v условие ортотональности (2.11) можно записать в матричной форме следующим образом:

где М — диагональная матрица масс. Если индексы одинаковы то справа получается число. Чтобы справа получить единицу, нужно матрицу векторов v нормировать с матрицей масс. С этой целью ко всем элементам одного вектора вводится одинаковый множитель, например я₍, т. е. afiy’j Mv) = 1. Отсюда

Эту операцию удобно проделать в матричной форме. Диагональная матрица множителей в операторах системы MATLAB будет равна, а = sqrt (inv (v'Mv)). А новая матрица векторов, нормированная с матрицей масс, — u = (av')'. Тогда

Теперь представим систему уравнений (5.1) в матричной форме:

При решении этой системы уравнений на основе свойства ортогональности главных форм колебаний происходит преобразование основных неизвестных Y (t) в новый базис q (?), т. е. принимается, что.

Подставим это значение в формулу (5.4):

Умножим это уравнение слева на произведение матриц и’М:

Перед вторым членом слева оказывается единичная матрица (5.3). Чтобы доказать, что первый член тоже представляет собой диагональную матрицу, рассмотрим однородные уравнения, соответствующие системе (5.1). Введем обозначение (2.5) и запишем их в матричной форме: ВМ — = О при Y (?) Ф 0. Отсюда ВМ = А.Е.

Умножим это равенство слева на и’М, а справа — на и:

Следовательно, перед q (?) будет множитель л_;Е, т. е. диагональная матрица. Таким образом, система уравнений (5.1) распадается на отдельные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка:

или после умножения на со_;²:

Здесьу =1,2,…, п.

Далее выписывается готовое решение для q (t) (для некоторых видов нагрузки решения приведены в гл. 1) или уравнения решаются как для системы с одной степенью свободы. Процесс вычислений удобно выполнять в матричной форме на основе вычислительных комплексов, имеющих матричные операции.

После нахождения qit) возврат к истинным значениям y (t) осуществляется по выражению (5.5). Силы инерции определяются по формуле (Д.4). Остальные усилия вычисляются путем использования выражения (2.13). Ниже на конкретном примере процедура вычислений изложена более подробно.

Пример 5.1. Рассмотрим воздействие прямоугольного импульса на раму с двумя степенями свободы (рис. 5.1, а). Исходные данные: Е = 19,6 * 10¹⁰ Н/м²; /= 1,22- 10~⁶м⁴ (в направлении изгиба); т_х = 28,80 + 16,69 = 45,49 кг; т₂ = 24,22 кг; F= 10 000 II; время действия импульса т = 0,3 с.

Рис. 5.1. Расчет статически неопределимой рамы.

Решение

Рама один раз статически неопределима. Эшоры усилий от единичных сил и от внешней нагрузки в заданной системе построим методом сил в матричной форме с помощью системы MATLAB. Основную систему метода сил получим путем отбрасывания правой вертикальной связи. Ниже приведены исходные матрицы:

Далее воспользуемся программой, приведенной в приложении 1.2. Окончательным результатом расчета является матрица усилий S, и по ней построены эпюры М, и М₂ (рис. 5.1, б, в).

Динамическое решение приведем для времени t < т. Для этого времени воздействие будет представлять собой внезапно приложенную нагрузку (см. параграф 1.6). В программе подсчитана правая часть уравнений (5.6) с = со_;²и’МД_/л элементы которой являются постоянными, так как нагрузка постоянная. Частоты свободных колебаний также полечитаны программой и представлены матрицей w. Используя полученные результаты, запишем уравнения (5.6):

Сравним полученные уравнения с уравнением (1.42). Из сравнения следует, что для получения г/₍._т в решении (1.43) нужно правые части уравнений (5.6) разделить на квадраты соответствующих частот, т. е.

В каждом частном случае операции преобразования могут быть различными.

Используя выражение (5.5), получим истинные перемещения масс. Введем F

к ним множитель — = 0,4 182:

EI

Продифференцируем дважды по времени выражения (5.7) и по формуле (Д.4) вычислим силы инерции:

Максимальное усилие будет в защемлении рамы (сечение 1). Используя выражение М = + M₂J₂(t) + M_F построим график изменения изгибающего момента в защемлении в зависимости от времени (рис. 5.2):

График построен для времени от 0 до 0,3 с с интервалом 0,005 с.

Рис. 5.2. График изменения изгибающего момента в основании рамы от приложения прямоугольного импульса без учета демпфирования Для времени От решение уже будет другим. После снятия нагрузки будут иметь место только свободные колебания. В этом случае преобразованные уравнения (5.6) будут однородными, т. е. их правые части окажутся равными нулю. Решение этих уравнений представлено формулой (1.10). В истинные значения перемещений, даваемые выражением (5.5), войдут произвольные постоянные у₀, г/₀₂, г/₀₁, г/₀₂ (начальные перемещения и начальные скорости масс). Они определяются из выражений (5.7) и выражений для их производных путем подстановки в эти выражения t = т = 0,3 с. Далее изложенным выше путем можно определить силы инерции и усилия. Но в рассматриваемом случае после снятия нагрузки усилия будут меньше, чем на графике рис. 5.2. Колебания будут происходить около статического значения изгибающего момента (см. далее рис. 5.16).

Пример 5.2. Определим колебания консольной фермы от проходящего транспорта. Кинематическое воздействие, одинаковое для всех масс, возьмем г/₀ = 1,59 * 10^_6sin 63 г. Расчетная схема фермы изображена на рис. 5.3. Сечения стержней — 2 равнополочных уголка 50×50×5 мм; Е = 19,6−10 ¹⁰ Н/м²; Д = 9,6- 10^_4м².

Рис. 5.3. Консольная статически определимая ферма.

Для вычисления матрицы преобразования и необходимо иметь матрицу податливости и матрицу масс. Матрицу податливости определим с помощью матрицы усилий b и матрицы податливости нсобъединенных элементов f, которую запишем в строку:

С помощью системы MATLAB определим частоты, собственные вектора и матрицу и:

Система дифференциальных уравнений движения сосредоточенных масс после введения ортогональных координат в матричной форме имеет вид.

В правую часть уравнений входит матрица F_v которая в данном случае является единичной. Воздействие на все массы одинаково, поэтому элементы вектора воздействия, А будут одинаковы и равны а₀<�я% = 6,3107−10 ³ м/с². Подсчитаем правые части этих уравнений:

В результате преобразований уравнения примут вид.

Решение уравнения второго порядка соответствует формуле (1.54):

Для учета затухания колебаний определим коэффициенты, а исходя из коэффициента поглощения ц/ = 0,17: а, = 1,5 с^-1; а, = 4,5 с^-1; а, = 2,8 с '.

Теперь выпишем выражения для q.(t):

После преобразования по формуле (5.5) получим истинные перемещения:

Графики перемещений, построенные по этим выражениям от заданного воздействия, естественно, совпадают с соответствующими графиками, построенными без использования ортогональных координат.

Чтобы определить усилия, необходимо вычислить силы инерции по формуле.

В любом случае усилия определяются, как обычно. Для рассматриваемой статически определимой фермы они определяются матричным выражением.

^600″ .

где S₀ = b 400 # — усилия от собственного веса.

V У Максимальные значения усилий и перемещений можно оценить либо по графикам, либо численно и сравнить с нормативными значениями при единичных значениях синусов.

Решение этого уравнения соответствует формуле (1.44). Выражение 5(t -1₀) в правой части уравнения называется симметричной единичной импульсной функцией, или дельта-функцией Дирака. Интеграл от любой функции, умноженной на дельта-функцию, взятый в пределах отоо до +оо, равен значению функции при аргументе, указанном в выражении дельта-функции.

Рис. 5.4. Статически определимая ферма с двумя степенями свободы Упражнение 5.1. Получите выражения истинных перемещений масс фермы, изображенной на рис. 5.4, от действия мгновенного импульса S. ЕА = = const; т_л = т₂. Дифференциальное уравнение колебаний при действии импульса имеет вид