Действия над комплексными числами

1. Сумма, разность комплексных чисел и умножение комплексного числа на действительное число определяются точно так же, как действия над соответствующими векторами. Пусть z = (*i, j/i), Zo = = (хо, У2) (рис. 3). Суммой комплексных чисел Z и z2 называется комплексное ЧИСЛО 2 = 2| + 2*2 = (*1 + *2,1/1 + Jft)*.

Разностью комплексных чисел называется комплексное число 2 = = 21 — 22 = (*1 -Хо, У1 — уо).

Таким образом, при сложении и вычитании комплексных чисел соответственно складываются или вычитаются их действительные и мнимые части. Из рис. 3 видно, что модуль z — zo равен расстоянию между точками z и z?.

Произведением комплексного числа z = (х, у) на действительное число А называется комплексное число z = (Лх, у).

Так как (см. рис. 3) сторона Oz треугольника Ozz не больше суммы двух других его сторон, то справедливо так называемое неравенство треугольника:

равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы z и 22 сонаправленм.

Теперь мы можем ввести другую форму записи комплексного числа г = (х, у). Так как (от, 0) = я, (0, у) = (0,1) • у = iy, то.

Выражение z = х + iy называется алгебраической или декартовой формой комплексного чима z. Сделав подстановку по формулам (1.2), придем к выражению.

которое называется тригонометрической формой комплексного числа z.

При м е р 2.1. Комплексное число z = — 2 + 2/3 i представить в тригонометрической форме.

Решен и е. Здесь х = — 2, у = 2/3. Поэтому точка, изображающая число 2, лежит во II четверти (рис. 4). По формуле (1.1) г =.

= yj(-2)² + (2/3)² = /А + 12 = 4. По форму;

лам (1.3) cosy? = —- = —sin у? = —. Так как cosy? = то ^ = ±arccos (—) + 2nk, р_ис. 4.

т.с. р = 7 г 4- 27гЛ:. 1 G Z, где Ъ множество целых чисел (0, ±1,.

«3.

±2____). Поскольку у? принадлежит II четверти (см. рис. 4), то у? =.

2 2 = Arg2 = - ;г + 27гЛ, а главное значение аргумента у? = - тг. Поэтому.

О

число 2 в тригонометрической форме имеет вид.

Можно использовать и другие значения Argz:

2. Рассмотрим теперь операцию умножения комплексных чисел. Вначале вводится произведение i • i = г. По определению.

Обратим внимание читателя на принципиальную важность этого определения. Как известно, квадрат любого действительного числа (изображенного точкой на оси ОХ) будет больше либо равен нулю. Но среди более широкого класса объектов комплексных чисел уже наймутся такие, квадрат которых отрицателен. Для таких чисел соответствующие точки должны лежать вне оси ОХ.

При первом знакомстве с комплексными числами часто возникает вопрос: почему t² принимается равным —1, а нс какому-либо другому числу? С формальной точки зрения равенство (2.2) является определением и доказательства нс требует (нужно только, чтобы это равенство нс нротиворечило остальным утверждениям и фактам). Но этот довод нельзя признать убедительным. Попытаемся объяснить причину, по которой г~ следует положить равным именно —1. Естественно ввести умножение комплексных чисел таким образом, чтобы сохранялись привычные правила умножения действительных чисел. В частности, хотелось бы сохранить обычное правило раскрытия скобок:

а также свойство модулей.

Покажем, что указанные свойства могут сохраняться только при выполнении равенства (2.2). Возьмем z = 1 + i, Z2 = 1 — i? Если эти свойства имеют место, то

Обозначим w = —г² и докажем, что w — 1. Действительно,.

Поэтому |1 + w = 2 = |1| + |ги|. Равенство |1 + и?| = |1| + |ге| означает, что векторы, соответствующие числам 1 и н;, сонаправленм. Поскольку |м | = 1, то эти векторы совпадают, т. е. w = 1. Таким образом, —г = 1, и мы приходим к (2.2).

Теперь произведение двух произвольных комплексных чисел z = = Xi +iy и Z2 = Xo + ij/2, записанных в алгебраической форме, определяется следующим образом. Следует раскрыть скобки по обычным алгебраическим правилам и упростить полученное выражение, пользуясь равенством г = — 1:

Итак, zz₂ = (#1 + iy)(x‘2 + гуч) = (хх₂ — У1У2) + i (xy₂ + Но.

лучше не запоминать эту формулу, а выполнять указанные выше действия непосредственно.

II р и м е р 2.2. Найти произведение чисел Решен и е.

Из определения суммы и произведения комплексных чисел следует, что эти операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над действительными числами:

Отсюда следует, в частности, что при действиях над комплексными числами применимы все формулы сокращенного умножения. Например:

и т.д. В частности,.

Рис. 5.

Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком, называются взаимно сопряженными. Если z = х +.

+ ip. то сопряженное число обозначается.

Точки, изображающие числа 2 и г, симметричны относительно действительной оси (рис. 5).

Нетрудно видеть, что.

(кроме чисел z = х < 0: для них argz = argz = 1г). В силу (2.3).

3. Деление комплексных чисел, так же как и для действительных чисел, определяется как действие, обратное умножению. Делить можно только на комплексные числа, отличные от нуля. Чтобы найти частное 21/22 комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, следует домножить числитель и знаменатель дроби на z-i и воспользоваться равенством (2.4):

После этого нужно выполнить умножение в числителе и разделить действительную и мнимую части получившегося числа на знаменатель:

Как и в случае умножения, мы рекомендуем не запоминать эту формулу, а усвоить правило нахождения частного.

П р и м е р 2.3. Найти частное чисел Z = -5 + 14?' и z-2 = —4 + г. Р е ш е н и е.

• (заметим, что мы выполнили действие, обратное умножению из примера 2.2).
• 4. Рассмотрим теперь умножение и деление комплексных чисел, заданных в три гонометрической форме. Пусть

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. а аргументы складываются:

Эти формулы означают, что вектор zzi получается из вектора zi поворотом на угол <�р2 и умножением его длины на z-z- Например, умножение числа z на г дает вектор, который получается из вектора z поворотом на угол 7Г/2 против часовой стрелки, так как argi = тг/2, |г| = 1.

Из формул (2.6) следует, что аналогичными свойствами обладает произведение любого конечного числа комплексных чисел. Например,.

Перейдем теперь к делению чисел Z, Z2, заданных в тригонометрической форме. Заметим, что если = r-2(cos <^2 + isiny^), то Z-2 = 7*2 (C0s (— ^2) + / sill (—(^2)) — Поэтому.

Итак, модуль частного комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

Пример 2.4. Найти (/2 — /бг)⁴.

Положим по определению z° = 1 при 2 ^ 0. Тогда, в силу формул (2.7) и (2.9), для любого целого числа т (положительного, отрицательного или равного нулю) справедливо равенство, называемое формулой Муавра:

Решение. 1) Изобразим число /2 — /бг (см. рис. б) и запишем его в тригонометрической форме:

к = п +1, п + 2,… мы снова будем получать точки шi, W2 и т. д. Аналогично. при к = — 1, — 2,… соответствующие точки будут совпадать с какими-то из точек «'о. w’i… w_u-i. Мы приходим к следующему выводу. Для каждого комплексного числа z ф 0 имеется ровно п различных корней п-й степени из z. Все эти корни находятся по формуле (2.12) при к =.

= 0,1.2,… п — 1. Соответствующее точки расположены в вершинах правильного п-угольпика с центром, в начале координат.

Формула (2.12) также называ- _ж

ется формулой Муавра.

II р и м е р 2.5. Найти все значения tfz при г = 32(— I + /Зг).

Решение. Найдем модуль и аргумент числа z:

Так как Re 2 < 0, lm z > 0, то угол 9 лежит во II четверти. Поэтому 9=^- + 27гА*. В (2.12) можно взять любое значение аргумента 9,.

в частности 9 = Подставляя найденные значения г и 9 в формул у (2.12), получим.

(мы воспользовались равенством к — 0,1,2.3. найдем четыре различные значения fz:

Остальные значения к новых точек уже не дадут. Заметим, что, извлекая корень 4-й степени из числа z = 32(—1 + y/3i), мы решали задачу, обратную той, которая разбиралась в примере 2.4, и корень w.i = у/2 — /б? оказался равным тому числу, которое возводилось в 4-ю степень. Но, кроме числа а? з, будет еще 3 различных значения sfz соответствующие точки шо, ид, w2, W3 расположены в вершинах правильного четырехугольника (т.е. квадрата) с центром в начале координат и удалены от начата координат на расстояние 2/2.

Возможность извлекать корень из любого числа позволяет решать квадратные уравнения az² + bz + с = 0 с произвольными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами п, Ь, с. Корни уравнения находятся по формуле.

которая выводится гак же, как и в случае действительных чисел «, с, z (путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена az² + bz + с). В качестве у/ЬР — 4ас можно взять любое из двух значений корня; эти значения связаны равенством w = —W2•.

П р и м е р 2.G. Решить уравнение z² + 2z + 2 = 0.

Решение. D = Ь² — 4ас = 4 — 41−2 = 4 — 8 = —4;

По формуле (2.13).

В школьном курсе математики считается, что если дискриминант D < 0, го корней нет. Их и в самом даче нет, если искать только действительные корни (т.е. точки, расположенные на оси ОХ). Но.

среди более широкого множества комплексных чисел корни уже найдутся; соответствующие точки расположены вне действительной оси.

Таким образом, каждое квадратное уравнение имеет ровно два корня (возможно, совпадающих). Позже мы докажем, что для любого натурального п уравнение

^^>ис' 8 имеет ровно п корней (вообще г оворя, комплексных). Это означает, что для отыскания решений алгебраических уравнений более высокой степени не нужно дальнейшее расширение множества чисел (например, рассмотрение точек в пространстве и т. п.). Введенного множества комплексных чисел уже достаточно для того, чтобы среди них нашлись решения любого алгебраического уравнения.

Задача. Докажите (исходя из формулы (2.13)), что для квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом корни будут взаимно сопряженными.

6. В заключение гл. I введем еще одну форму записи комплексных чисел. Определим показательную функцию от чисто мнимого аргумента if следующим равенством:

Поскольку число г можно записать в виде г = r (cosv? + *sin.

г = z, то получаем более краткую, так называемую показательную форму комплексного числа:

Пусть z = Tie**⁴, zo = гге¹^². Учитывая формулы (2.5), (2.7) и (2.8), получим:

(2.15).

Таким образом, функция с*^, определенная равенством (2.14), обладает обычными свойствами показательной функции, что товориг о естественности такого определения. Формула (2.14) называется формулой Эйлера. Более глубокое рассуждение, объясняющее происхождение формулы Эйлера, будет дано в гл. VI, § 22.