Определение внутренних усилий в многопролетных статически определимых балках при неподвижной нагрузке

Многопролетные статически определимые балки представляют собой комбинированные системы, состоящие из нескольких простых балок, соединенных шарнирами. Отдельные типы таких балок иногда применяются в различных строительных конструкциях, главным образом в мостах. Анализ работы таких систем имеет не только практическое, но и методическое значение, так как позволяет глубже понять работу деформируемых систем.

Рассмотрим в качестве примера трехпролетную балку, изображенную на рис. 2.1. В отличие от простой двухопорной балки в этой системе содержится четыре опоры. Так как крайняя правая опора имеет неподвижный шарнир с двумя связями (4 и 5), то число опорных связей равно пяти. Для определения всех реакций трех уравнений статики, которые можно составить для плоской системы в целом, недостаточно.

Но так как во втором пролете два шарнира (т и п), имеем два дополнительных условия, а именно: моменты в сечениях, где расположены эти шарниры, равны нулю — М_т = О и М_п = 0. Таким образом, всего будет пять уравнений статики: три, которые можно составить для всей системы в целом, и два дополнительных уравнения, описывающих равенство нулю моментов в шарнирах. Как сказано в п. 2.1, уравнения статики можно составлять и для отдельных частей системы.

Для того чтобы миогопролетная балка была неизменяемой системой, число шарниров, разделяющих балку на части, не должно превышать числа дополнительных опор, кроме того, шарниры должны быть размещены определенным образом. Если число таких шарниров больше числа дополнительных опор, то система будет изменяемой, а если меньше этого числа, то она будет статически неопределимой.

Для облегчения работы многопролетной балки целесообразно ее представить в виде совокупности простых балок. Так, например, трехпролетную балку, показанную на рис. 2.1, можно представить как совокупность трех балок (рис. 2.2, а). Для.

Рис. 2.1.

этого следует отбросить все опоры, а их действие заменить вертикальными опорными реакциями R_A, R_Bf R_a R_n и горизонтальной реакцией H_D, как показано на рис. 2.2, а. Полученная система представляет собой совокупность трех балок. Каждая из них обведена пунктирными линиями I, II, III. На рис. 2.2, б_у в, г изображена каждая балка в отдельности. В точках т и п приложены горизонтальные силы взаимодействия отдельных балок Н_т и Н_п.

Теперь задача об определении всех реакций, а также сил взаимодействия в шарнирах тип решается просто. Для этого необходимо составить уравнения равновесия каждой балки. Так, например, для балки I (см. рис. 2.2, б) из равенства нулю моментов всех сил относительно точки т легко определить реакцию R_A. Реакция R_m найдется из равенства нулю моментов всех сил относительно точки А. Приравняв нулю проекции всех сил на ось балки, найдем силу взаимодействия Н_т двух балок в шарнире т.

Составив уравнения равновесия для балок II (см. рис. 2.2, в) и 111 (см. рис. 2.2, г), найдем все остальные реакции.

Рассматривая каждую из трех балок отдельно, легко построить для них эпюры моментов, поперечных и продольных сил.

Указанные эпюры для всей системы в целом получим путем соединения эпюр для трех балок. Если на многопролетную балку действуют только силы, приложенные перпендикулярно к ее оси, то реакция H_D и силы взаимодействия Н_т и Н_п равны нулю. Продольные силы во всех сечениях балки также равны нулю.

Расчетную схему в этом случае можно изобразить как совокупность простых балок, опирающихся одна на другую в промежуточных шарнирах. Два таких примера показаны на рис. 2.3. Так, балке, показанной на рис. 2.3, а, соответствует схема, изображенная на рис. 2.3, б; балке на рис. 2.3, в — схема, представленная на рис. 2.3, г.

Рис. 2.3.

Пример. Построить эпюру моментов от заданной нагрузки для балки, изображенной на рис. 2.4, а.

Опуская вычисления, приведем окончательный результат. На рис. 2.4, б показана эпюра моментов для средней балки, а на рис. 2.4, в — для крайних балок. Окончательная эпюра для всей системы приведена на рис. 2.4, г.

Таким же образом легко построить эпюру поперечных сил, которую здесь не приводим.

Рис. 2.4.