Типы конечных элементов

В тех случаях, когда заданная пластина имеет сложное очертание, ее разбивают на конечные элементы не прямоугольной формы, а, например, на треугольники или трапеции (рис. 14.4).

Каждый из конечных элементов предварительно изучается и выясняются величины реакций в связях от единичного смещения какой-либо из них. Эта задача сама по себе является сложной. В настоящее время применяются разные методы, поэтому и величины реакций отличаются друг от друга вследствие различия принятых допущений.

Иногда сплошную пластину заменяют стержневой системой. Первое предположение по применению метода конечных элементов принадлежит А. Хренникову (1941), который заменял прямоугольный сплошной элемент (рис. 14.5, а) стержневой системой (рис. 14.5, б, в). Для определения площадей поперечных сечений стержней, входящих в стержневой элемент, он исходил из условия близости деформаций в сплошном и стержневом элементах.

Таким образом, конечные элементы могут быть стержневыми и пластинчатыми.

В зависимости от вида конструкции, а также от ее геометрии могут быть приняты различные типы конечных элементов. Так, например, для стержневых систем в качестве конечного элемента может быть принят одиночный стержень. Если при расчете простой рамы (рис. 14.6, а) по методу перемещений в отличие от допущений, принятых в гл. 9, учитывать также и удлинение стержней, то в основной системе будет шесть неизвестных в соответствии с числом наложенных связей (рис. 14.6, в). Если продольными деформациями стержней пренебречь, то необходимо положить равными нулю перемещения Z₅ и Z₆. Основная система в этом случае (рис. 14.6, в) будет соответствовать принятой в гл. 9. Второй пример основной системы показан на рис. 14.7, а для фермы с жесткими узлами. В каждом узле поставлено, но три связи (два стерженька и заделка). Всего наложенных связей (рис. 14.7, 6) оказалось 12, число неизвестных перемещений также равно 12 (восемь линейных смещений и четыре угла поворота узлов).

В приведенных примерах конечным элементом является одиночный стержень. Для регулярных стержневых систем, в которых повторяются однотипные стержневые ячейки, можно принимать за конечный элемент группу стержней.

На рис. 14.8 приведен пример выбора конечных элементов для плотины, мысленно вырезанной двумя сечениями, п ро вед е н н ы м и п л ос костя м и, перпендикулярными к продольной оси плотины. Анализ показал, что во всех сечениях протяженной плотины имеет место плоское деформирование состояния. Иначе говоря, при определении напряжений в плоскости поперечного сечения плотины можно пользоваться формулами теории упругости для плоской задачи. В обоих вариантах (рис. 14.8, а и б) поперечное сечение разбито на треугольные элементы с различным числом элементов. В первом варианте число неизвестных значительно меньше, но и точность решения будет снижаться по сравнению с решением по второму варианту.

Другой пример применения треугольного конечного элемента показан на рис. 14.9 для пластины с отверстием.

Эта задача симметрична относительно осей х и у. Все четыре четверти находятся в одинаковых условиях, поэтому можно рассматривать только одну четверть пластины, например заштрихованную на рис. 14.9, а. Нанеся сетку на эту заштрихованную часть пластины, разделим ее на конечные элементы. Как очевидно из рис. 14.9, б, здесь также применен треугольный конечный элемент.

%/

При расчете круглых пластин или мембран применяются трапециевидные конечные элементы (рис. 14.10).