Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов

Оглавление Введение Глава 1. Психолого-педагогические и научно-методические основы изучения измерений геометрических величин в школе

§ 1. Практическая деятельность учащихся при изучении геометрии

§ 2. Этапы изучения измерений геометрических величин в школьном курсе математики

§ 3. Сравнительный анализ учебных пособий по геометрии для 7 — 9 классов

3.1 Учебник геометрии 7 — 9 (авторы Атанасян Л. С. и др.)

3.2 Учебник геометрии 7 — 11 (авторы Погорелов А. В. и др.)

3.3 Учебник геометрии 7 — 9 (авторы Шарыгин И. Ф. и др.)

3.4 Учебник геометрии 7 — 9 (авторы Смирнова И. М., Смирнов В.А.)

3.5 Учебники геометрии 7, 8 — 9 (авторы Александров А. Д. и др.)

§ 4. Измерительные инструменты в школе

4.1 Измерительные инструменты для измерения длин отрезков

4.2 Приборы для переноса измеряемого размера с объекта на линейку

4.3 Инструменты, с помощью которых можно измерить градусную меру угла

4.4 Инструменты для измерения площадей

§ 5. Различные направления использования измерений геометрических величин при обучении геометрии

5.1 Типология задач на измерения

5.1.1 Задачи на непосредственные измерения

5.1.2 Задачи на косвенные измерения

5.1.3 Задачи, в которых до методов косвенного измерения, применяются непосредственные измерения

5.1.4 Задачи на измерение геометрических величин средствами информационных технологий

5.2 Использование измерений геометрических величин на разных этапах урока геометрии Глава 2. Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7 — 9 классов

§ 1. Примеры использования измерений в обучении геометрии

1.1 Использование измерений при введении новой темы

1.1.1 Сумма углов треугольника

1.1.2 Площадь трапеции

1.1.3 Длина окружности

1.1.4 Теорема Пифагора

1.2 Использование измерений при решении задач

1.3 Использование измерений для опровержения каких-либо утверждений

1.4 Измерения, подчеркивающие практическую значимость геометрии

§ 2. Рекомендации по реализации основных направлений использования измерений в школьном курсе геометрии

§ 3. Элективный курс «Измерение расстояний на местности»

Заключение

Библиография

Введение

Выбор темы дипломной работы «Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7 — 9 классов» обусловлен следующими факторами: идейно-содержательная линия «Измерения геометрических величин» входит в состав геометрической линии школьного курса математики и изучается с 5 по 11 класс.

Эта линия как бы пронизывает весь математический материал, изучаемый в школе.

Само слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие». С древних времен люди сталкивались с необходимостью находить расстояния между предметами, определять размеры участков земли, ориентироваться по расположению звезд на небе и т. п. Таким образом, зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог. При строительстве различных сооружений необходимо было рассчитывать, сколько материала пойдет на постройку, вычислять расстояния между точками, измерять углы между прямыми и др. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей. До сих пор мы используем умения, связанные с измерением геометрических величин в повседневной жизни и профессиональной деятельности. Поэтому важной составляющей обучения геометрии является обучение использованию измерительных инструментов на практике.

При этом измерения могут оказать значительную помощь в изучении остальных тем геометрии и достижении целей обучения математике в школе. Без знания разнообразных измерительных инструментов, геометрических величин и без умения производить измерения этих величин обучение геометрии становится невозможным.

А в связи с тем, что в настоящее время возникает острая нехватка профессиональных инженеров, технических специалистов и руководителей среднего звена на производстве, вопрос об обучении школьников умениям, связанных с измерениями геометрических величин, занимает одно из первых мест.

Целью дипломной работы является выявление возможностей использования измерений геометрических величин при изучении различных тем курса геометрии 7 — 9 классов.

При достижении цели работы потребовалось решение следующих задач:

— изучение психологической и учебно-методической литературы по теме;

— анализ измерительных инструментов для школ

— проведение классификации измерений геометрических величин

— разработка методических рекомендаций для реализации основных дидактических функций на уроке математики с использованием измерений;

— разработка элективного курса «Измерение расстояний на местности».

Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, приложения и списка литературы, состоящего из 33 источников.

Первая глава работы содержит пять параграфов.

В первом параграфе рассматривается необходимость использования практической деятельности учащихся на уроках геометрии, а также принципы обучения, которые необходимо соблюдать и при организации практической деятельности учащихся.

Во втором — мы выделили этапы изучения измерений в школьном курсе геометрии.

Далее представлен анализ школьных учебников геометрии, различных подходов к введению определений геометрических величин, рассматриваемых авторами измерительных инструментов. Анализ содержания предлагаемого для изучения материала проводился по четырем вопросам: понятие измерения геометрической величины; измерение геометрических величин; вычисление геометрических величин; применение измерений геометрических величин на практике.

Четвертый параграф посвящен описанию различных измерительных инструментов, используемых в школе, и инструментов, которые полезно изучить в школе.

В пятом параграфе мы рассматриваем различные направления использования измерений при обучении геометрии.

Вторая глава отведена на различные примеры использования измерений при изучении различных тем геометрии, методических рекомендаций к урокам, а также описанию элективного курса «Измерение расстояний».

В заключении представлены основные выводы о работе. В приложении — краткий сравнительный анализ глубины и последовательности изучения отдельных содержательных вопросов измерения геометрических величин в школьных учебниках геометрии для 7 — 9 классов.

Глава 1. Психолого-педагогические и научно-методические основы изучения измерений в школе

§ 1. Практическая деятельность учащихся при изучении геометрии Источником знания является практическая деятельность учащихся. Она обеспечивает не только закрепление и применение знаний, но и формирует опыт, умения, служит интеллектуальному, физическому и нравственному развитию.

Как если ни на практике повар узнает вкус той еды, которую он готовит; как если ни на практике инженеры проверят свои изобретения на работоспособность, — практическая деятельность важна не только в процессе обучения, но и в жизни каждого. С самого рождения человек познает окружающий его мир с помощью практической деятельности — он пробует сидеть, ходить, говорить… Ведь именно на практике ребенок узнает свои возможности, способности, узнает о совершенных ошибках и исправляет их. При изучении геометрии эта деятельность также важна.

Именно на практике школьнику выдается возможность прочувствовать всю красоту геометрии: это и связь с другими дисциплинами, и возможность применения ее в повседневной жизни, и разнообразие геометрических фигур, и интереснейшая история ее развития и многое другое.

Практическая деятельность школьников играет немалую роль при достижении целей изучения математики. Достижение образовательной цели: в процессе практической деятельности возрастает степень понимания учебного материала. Ученик, проделывая какую-либо работу, обдумывает каждое свое действие, усваивая при этом теоретический материал, связанный с выполняемым заданием. Также практическая деятельность способствует выполнению воспитательной и развивающей функций: ученики внимательнее относятся к выполнению заданий, развивается ответственность за свои действия, самостоятельность, аккуратность. Активизация практической деятельности позволит не только заинтересовать учащихся, но и проявить себя с лучшей стороны. Нередко ученик, который не может похвастаться своими теоретическими знаниями, на практике добивается успехов, при этом он может и не понимать того, что он все равно использует теорию. Достижение хороших результатов поднимает и самооценку школьников, появляется стремление к совершенствованию своих умений и навыков. В литературе отмечается, что зачастую практическая деятельность связана с выполнением лабораторных работ, упражнений, исследованием, творческой деятельностью, что предполагает: положительную мотивационную активность; направленность и целеустремленность; высокий уровень интеллектуального развития; оригинальное мышление; развитие воображения и фантазии, самостоятельности и способности самооценки. Практическая деятельность помогает развивать познавательные интересы учащихся. У учителя в то же время есть возможность осуществить дифференциальный и индивидуальный подход к учащимся, в зависимости от темпа их работы, — выполнение контрольно — оценочной функции. Также практическая деятельность способствует развитию мотивации школьников к изучению геометрии.

Любой учебный материал по геометрии имеет практическую направленность. Например, третий признак равенства треугольников является теоретической основой «жесткости» треугольника, что широко используется при конструкции мостов, подъемных кранов и т. п. Поэтому для показа ученикам важности геометрии в повседневной жизни ученикам необходимо не просто рассказать об этих возможностях, но и показать, в каких именно областях знаний помогает эта наука, дать ученикам самим попробовать применить свои знания на практике. Занятия по геометрии должны сопровождаться практическими работами с привлечением всех учащихся. Это могут быть все виды моделирования, различные землемерные работы, лабораторные работы и т. д.

Несомненно, при организации практической деятельности учеников нельзя забывать об основных принципах обучения. В методической литературе по математике общепризнанной является следующая система дидактических принципов [14]:

1. Принцип воспитания в обучении математике. Практическая деятельность, как уже было сказано, способствует достижению воспитательных целей. Воспитание мировоззрения и морали способствует формированию характера каждого школьника. Чтобы учащийся мог действовать в соответствии с принципами мировоззрения и морали, он должен сформировать у себя такие черты характера, как принципиальность, сила воли, скромность, честность по отношению к самому себе и другим людям. Мировоззрение, базирующееся на научном знании и практическом жизненном опыте, связывает в единое целое эти свойства личности. Отсюда вытекают возможность и необходимость передачи всем людям знаний о закономерностях развития природы, общества и человеческого мышления, чтобы они могли сознательно осуществлять деятельность, направленную на построение общества.

2. Принцип научности в обучении математике. Одним из аспектов реализации принципа научности в обучении является выработка у учащихся учебно-исследовательских навыков и умений, что невозможно без практической деятельности школьников.

3. Принцип сознательности, активности и самостоятельности в обучении математике. Данный принцип заключается в целенаправленном активном восприятии изучаемых явлений, их осмыслении, творческой переработке и применении. Где же еще, как ни на практике у ученика есть возможность проявить свои знания, попробовать свои силы в решении задач.

4. Принцип доступности в обучении математике. Принцип доступности в обучении вытекает из требований учета возрастных особенностей учащихся. Он лежит в основе составления учебных планов и программ. Принцип доступности требует, чтобы объем и содержание учебного материала были по силам учащимся, соответствовали уровню их умственного развития и имеющемуся запасу знаний, умений и навыков. Ведь если перед учеником стоит задача, которую он не может решить из-за недостатка каких-либо знаний, то вскоре у него пропадает интерес к решению этой задачи и вообще к изучаемой теме и предмету.

5. Принцип наглядности в обучении математике. В обучении геометрии этот принцип очень важен, так как в геометрии присутствует множество фигур, теорем и др., которые требуют демонстрации для прочного усвоения их свойств и формулировок. Например, при изучении многогранников демонстрация и самостоятельное моделирование этих фигур способствуют развитию пространственного мышления, понимаю свойств моделируемого объекта.

6. Принцип индивидуального подхода к учащимся в обучении математике. Соблюдение этого принципа эффективно при использовании практических заданий на уроках геометрии. У учителя появляется возможность осуществить индивидуальный и дифференцированный подход в обучении. В зависимости от качества и скорости выполнения заданий преподаватель уделяет время каждому школьнику отдельно: объясняет процесс решения задачи, помогает в решении возникших проблем, обеспечивает дополнительными заданиями, более сложными или легкими, в зависимости от того «сильный» ученик или «слабый».

Практическая деятельность школьника обеспечивает вовлечение его в учебный процесс, достижение целей обучения математики и соблюдение основных дидактических принципов обучения. В обучении геометрии это очень важно. Где, если ни на геометрии учащиеся встречаются с формами, которые их окружают: квадраты, окружности, параллелепипеды и др. И именно на геометрии они учатся измерять, вычислять геометрические величины: площади, объемы и др. Поэтому очень важно чтобы весь процесс обучения геометрии сопровождался практической деятельностью учеников.

§ 2. Этапы изучения измерений геометрических величин в школьном курсе математики Показ учащимся приложения математики к решению жизненно важных задач способствует повышению у них интереса к обучению, возбуждает творческую активность и самостоятельность в работе.

Одним из важных звеньев процесса обучения в школе является приобретение учащимися знаний, умений и навыков в измерении геометрических величин. В содержании Стандарта основного общего образования по математике уделяется время измерению геометрических величин. А именно, туда относят следующие понятия: длина отрезка, длина ломаной, периметр многоугольника, расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми, длина окружности, число р; длина дуги, величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности, понятие о площади плоских фигур, площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы), формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними, через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона, площадь четырехугольника, площадь круга и площадь сектора, связь между площадями подобных фигур, объем тела, формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса. Идейно-содержательная линия «Измерение геометрических величин» входит в состав геометрической линии школьного курса математики и изучается с 5 по 11 класс. В объяснительной записке и в тексте Программы по математике говорится, что учащиеся в процессе обучения геометрии должны:

уметь:

— распознавать на чертежах и моделях пространственные формы: соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

— описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

— анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

— изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

— строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

— решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

— использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

— проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

— исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

— вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Рассмотрим, какое место отводят авторы современных учебников по геометрии измерениям и измерительным приборам в своих книгах, и какие этапы изучения измерений в школе можно выделить.

Этапы изучения измерений в школе: пропедевтический курс (1−6 классы), основная школа (7−9 классы), старшая школа (10−11 классы).

В пропедевтическом курсе, который охватывает начальную школу и младшие классы среднего звена, учащиеся знакомятся с различными геометрическими фигурами, приобретают начальные навыки изображения этих фигур с помощью линейки, циркуля, угольника. С процессом измерения учащиеся знакомятся на наглядно-интуитивном уровне. Школьники приобретают опыт непосредственного измерения, нахождения и сравнения длины отрезка, площадей плоских фигур, а также знакомятся с различными единицами измерения и переводом из одних единиц измерения в другие. На этом же этапе учащимся приводятся формулы для косвенного измерения периметра многоугольника, площадей плоских фигур (квадрата, прямоугольника).

На втором этапе изучается большое число теоретических фактов, с помощью которых проводится косвенное измерение геометрических величин. Переходя к этому этапу необходимо мотивировать переход от непосредственного к косвенному измерению. Для этого полезно вспомнить об инструментах, с помощью которых измеряются длины отрезков (линейка), углы (транспортир) и др. Также на этом этапе изучается большинство теорем, позволяющих производить косвенные измерения геометрических величин (длин отрезков, углов, площадей).

В старшей школе от измерений длин отрезков, углов, площадей переходят к измерению объемов геометрических тел, применяя при этом знания начал математического анализа.

Для того, чтобы ответить на вопрос о месте измерений в курсе геометрии, проведем сравнительный анализ учебников по геометрии, используемых в школе.

§ 3. Сравнительный анализ учебных пособий по геометрии для 7 — 9 классов Проведем сравнительный анализ как теоретического материала, так и задачного. Анализ содержания предлагаемого для изучения материала проведем по четырем вопросам:

— понятие измерения геометрической величины;

— измерение геометрических величин;

— вычисление геометрических величин;

— применение измерений геометрических величин на практике.

Выбраны именно такие аспекты, так как именно они охватывают всю теорию измерений. Первый аспект — понятие измерения геометрической величины, подразумевает ответ на вопрос о том, дается ли в учебнике определение понятия длины отрезка, градусной или радианной меры угла, понятия площади плоской фигуры. Измерение и вычисление геометрических величин подразумевают непосредственное (прямое) и опосредованное (косвенное) измерение длин отрезков, углов, площадей соответственно. Непосредственное измерение связано с применением измерительных приборов, а косвенное — с использованием формул. Последний аспект охватывает область применения измерений геометрических величин на практике, то есть использование измерений при решении практико-ориентированных задач, доказательстве теорем.

Для анализа были выбраны учебники геометрии, рекомендованные (допущенные) Министерством Образования и Науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебный год. Это такие учебники как Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7- 9 [7]; Погорелов А. В. Геометрия 7 — 9 [20]; Шарыгин И. Ф. Геометрия 7 — 9 [31]; Смирнова И. М. и др. Геометрия 7 — 9 (учебники, рекомендованные Министерством Образования и Науки РФ); Александров А. Д. и др. Геометрия 7, 8 — 9 [1, 2] (учебники, допущенные Министерством Образования и Науки РФ Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебный год).

3.1 Учебник геометрии 7 — 9 (авторы Атанасян Л. С. и др.) [7]

В первой главе рассматриваются простейшие геометрические фигуры — точка, прямая, отрезок, луч, вопрос сравнения и измерения отрезков и углов.

Введение

основных понятий опирается на наглядные представления и на тот опыт, который накоплен учащимися при изучении математики в 1 — 6 классах.

Прежде, чем вводить понятие длины отрезка, авторы рассматривают решение задачи: с помощью данной линейки построить отрезок более длинный, чем сама линейка.

Авторы также поясняют, что для проведения длинных отрезков, прямых на местности, используется прием, который называется провешиванием прямой. Он широко используется на практике, например, при рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линий высоковольтных передач и т. д.

На практике часто приходится не только строить различные отрезки, но и измерять их, то есть находить их длины. Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его также называют масштабным отрезком). Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. Может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке — получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, то есть выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

После этого в тексте учебника выделяются некоторые свойства длин отрезков: если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, то есть равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее части) укладываются в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, то есть меньший отрезок имеет меньшую длину. Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.

Также авторы рассказывают о единицах измерения и измерительных инструментах, применяемых при измерении отрезков. Для измерения отрезков и нахождения расстояний на практике используют различные единицы измерения. В учебнике упоминается о таких единицах измерения как метр, сантиметр, миллиметр, дециметр, километр, морская миля, световой год, аршин, сажень.

Измерительные приборы, рассматриваемые в учебнике: масштабная миллиметровая линейка, используемая в техническом черчении; штангенциркуль — для измерения диаметра трубки; рулетка — для измерения расстояний на местности.

Измерение углов вводится аналогично измерению отрезков, основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. В параграфах «Измерение углов на местности» и «Построение прямых углов на местности» рассказывается о специальных приборах, предназначенных для измерения углов. Так, например, одним из таких приборов является астролябия. «Она состоит из двух частей: диска, разделенного на градусы, и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады находятся два узких окошечка, которые используются для установки ее в определенном направлении».

Для построения прямых углов на местности также применяют специальные приборы, простейшим из которых является эккер. «Эккер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укрепленных на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны. Чтобы построить на местности прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О; а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставлены на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска. Получается прямой угол АОВ.

В геодезии для построения прямых углов используют более современные приборы, например теодолит". Затем в учебнике уже при изучении признаков параллельных прямых рассматриваются способы построения параллельных прямых, также с использованием различных чертежных и измерительных инструментов. И уже в конце седьмого класса упоминается такой инструмент как уголковый отражатель и способы его применения, но данная тема не является обязательной.

Изучение геометрии в 8 классе начинается с рассмотрения понятия многоугольника и различных видов многоугольников и их свойств. Затем переходят к изучению темы «Площадь многоугольника». Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см². Аналогично определяется квадратный метр, квадратный миллиметр и т. д.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике. Далее выводятся различные формулы для нахождения площади того или иного многоугольника. Но как можно заметить на непосредственное измерение площади времени не отводится, в учебнике также не рассматриваются приборы, предназначенные для измерения площади фигур.

Далее изучаются понятие подобия фигур, признаки подобия треугольников и рассматриваются практические приложения подобия треугольников: задачи на построение, измерительные работы на местности. Свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности. В учебнике рассматриваются две задачи: определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки.

Затем уже в девятом классе вновь упоминается об измерительных работах на местности с использованием тригонометрических формул. И изучаются понятия длины окружности и площади круга.

Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке, А и распрямим ее, то получим отрезок АА₁, длина которого и есть длина окружности (рис. 1).

Рис. 1

Затем выводится формула для вычисления длины окружности, длины дуги. Аналогично проводится изучение и площади круга, кругового сектора.

Авторы уделяют время на изучение нового понятия объема геометрического тела.

Итак, определения длины отрезка, градусной меры угла, площади, реализуемые в учебнике являются описательными [8], то есть перечисляются лишь основные свойства нового понятия. Что касается задачного материала, предлагаемых в учебнике, то на непосредственное измерение приводится небольшое количество задач; на косвенное измерение геометрических величин отводится достаточное количество времени, так как научить школьников правильно измерять эти величины очень важно. Эти умения учащимся пригодятся и в дальнейшем изучении геометрии, физики, черчении, и в их повседневной жизни, и в будущей профессии. Содержание материала учебника отвечает требованиям стандарта.

3.2 Учебник геометрии 7 — 11 (авторы Погорелов А. В. и др.)

Рассмотрим теперь еще один учебник, предназначенный для обучения геометрии в российских школах: учебник геометрии 7 — 11 (авторы Погорелов А. В. и др).

Учебник Погорелова А. В. также как и учебник Атанасяна Л. С. и др. начинается с изучения простейших геометрических фигур: точка, прямая, отрезок, угол, — и их свойств. Измерению отрезков уделяется меньше внимания, чем в уже рассмотренном учебнике, — авторы не дают определения длины, а вводят это понятие с помощью свойств измерения отрезков; не рассматривается задача о построении отрезка, длина которого будет больше, чем длина линейки, также не рассматриваются приборы, предназначенные для измерения длин отрезков и углов. В отличие от учебника Атанасяна Л. С. и др., в рассматриваемом учебнике нет ни одной задачи на непосредственное измерение длин отрезков и углов.

Затем автор подчеркивает, что углы измеряются в градусах при помощи транспортира. Вводятся основные свойства измерения углов.

Определение понятия площади вводится аксиоматически, то есть понятие задается через выполнение определенных свойств. Метрические свойства окружности традиционно связываются с изучением правильных многоугольников, вписанных в окружность или описанных около нее.

К применению измерений в изучении геометрии вновь автор обращается лишь при изучении тем «Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике» и «Решение треугольников».

Таким образом, автор не делает акцент на практической направленности геометрии.

3.3 Учебник геометрии 7 — 9 (авторы Шарыгин И. Ф. и др.)

Шарыгин И.Ф. уже в начале книги указывает на то, что любое геометрическое тело имеет три измерения: длина, ширина, высота.

При изучении понятия отрезка подразумевается, что о понятии длины отрезка, единицах длины школьники уже знают. Отмечены лишь некоторые свойства:

— длина отрезка выражается положительным числом;

— два отрезка являются равными, если они имеют равную длину и др.

Поясняется, каким образом мы можем построить равные отрезки. Также небольшое внимание уделяется и измерению углов. Автор напоминает, что с этой мерой углов ученики уже знакомы, поэтому это понятие больше не вводится.

Простейшим инструментом измерения градусной меры угла служит транспортир. Также подробно описывается, как именно использовать этот измерительный инструмент. Совместив вершину угла с точкой О на транспортире и направив одну из его сторон по прямолинейной границе транспортира, мы увидим значение величины угла в точке пересечения его второй стороны со шкалой, указанной на транспортире. При этом подчеркивается, что каждому углу соответствует его единственная градусная мера. Рассмотрим какой-нибудь угол. Пусть одна его сторона неподвижна, а другая вращается вокруг вершины. Будем считать, что в начальном положении стороны угла совпадают, что соответствует углу 0^°, а в конечном положении стороны образуют развернутый угол, величина которого равна 180^°. Тогда любой угол, величина которого равна заданному числу градусов, при этом вращении появится лишь однажды.

Затем уже только в восьмом классе вводятся теоремы об измерении вписанного угла, угла с вершиной внутри и вне круга, угла между касательной и хордой. Заметим, что эти измерения являются косвенными, и в теоремах выводятся формулы, с помощью которых можно отыскать градусную меру упомянутых углов.

При изучении геометрии в девятом классе вводится понятие площади следующим образом: площадь — это некоторая характеристика геометрической фигуры, расположенной на плоскости или иной поверхности. Также приводятся свойства площади, аналогичные свойствам длины отрезка и градусной меры углов.

Таким образом, в учебнике Геометрия 7−9, Шарыгина И. Ф. должного внимания непосредственным измерениям не уделяется, не делается акцента на возможности применения измерительных инструментов в геометрии.

3.4 Учебник геометрии 7 — 9 (авторы Смирнова И. М., Смирнов В.А.) [26]

В данном учебнике поясняется, что измерение длины отрезка основано на сравнении его с отрезком, длина которого принимается за единицу (единичный отрезок). Авторы вводят определение понятия длины отрезка следующим образом: длина отрезка — это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке. Подробно описывается процесс измерения отрезков: авторы говорят, что для измерения длины данного отрезка АВ последовательно откладывают единичный отрезок ОЕ на луче АВ от вершины А. Если при этом единичный отрезок целиком укладывается в отрезке АВ целое число раз без остатка, то процесс измерения на этом заканчивается и полученное число считается длиной отрезка АВ. Если единичный отрезок целиком укладывается в отрезке АВ с остатком, т. е. конец последнего единичного отрезка С не совпадает с концом отрезка АВ и остаток СВ меньше единичного отрезка, то полученное число n считается приближенным значением длины отрезка. В этом случае единичный отрезок разбивается на 10 равных частей. Уже откладывают одну десятую часть единичного отрезка и т. д. После этого рассматриваются свойства длины отрезка и приводятся некоторые исторические сведения о длине отрезка. Задачи на непосредственные измерения отрезков в учебнике не рассматриваются.

При изучении градусной меры угла поступают также, как и при изучении длин отрезков: вводится определение градусной меры угла и свойства. После приводятся краткие исторические сведения, где рассказывается об истории возникновения угломерного инструмента — астролябии. Помимо единицы измерения углов — градуса рассматриваются и такие: минуты и секунды.

В учебнике авторы вновь обращаются к измерениям только лишь при изучении темы «Углы, связанные с окружностью». Рассматривается такое понятие, как градусная мера дуги окружности. Также говорится о длине окружности, выводится формула для ее нахождения.

И в следующей главе учебника «Площадь» вводятся определение площади, как числа, получающегося в результате измерения и показывающего, сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре. И приводятся свойства площадей, аналогичные свойствам длин отрезков. Выводятся формулы для нахождения площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, многоугольника, описанного около окружности, круга и его частей. В данном учебнике рассматривается изопериметрическая задача: какую наибольшую площадь ограничивают кривые заданной длины. В последней главе учебника авторы уделяют время на изучение площади поверхности и объема многогранника.

Определения, реализуемые в рассматриваемом учебнике, являются описательными. Приведено немало задач на косвенные измерения, не рассматриваются задачи на измерения на местности.

3.5 Учебники геометрии 7, 8 — 9 (авторы Александров А. Д. и др.) [1, 2]

Рассматриваемый учебник начинается с истории возникновения геометрии. Затем авторы вводят понятия отрезка, луча, прямой. При рассмотрении понятий длины отрезков, градусной меры углов и др. авторы поясняют, что длина отрезка — первая и самая важная из геометрических величин. Она характеризует его протяженность. Измерять длину постоянно приходится на практике. Длина используется при вычислении других геометрических величин — площадей, объемов, величин углов, показывая возможность косвенного измерения.

Геометрические величины характеризуют форму и размеры фигур. Измерение геометрических величин, по мнению авторов, — одна из важнейших задач геометрии.

Авторы обращаются к уже полученным знаниям учеников, и просто напоминают, что для измерения длины сначала надо выделить единичный отрезок. Также как и в других учебниках, перечисляются свойства длины.

После этого, рассматриваются два важных вопроса:

1. Как, имея измерительный инструмент, найти численное значение длины отрезка?

2. Как можно сделать инструмент для измерения длины?

Также в учебнике отмечается, что мера углов обладает теми же свойствами, что и длина отрезков. Измерение углов, как и отрезков, производится с помощью линейки, которая называется транспортиром. Авторы учебников подробно описывают такую линейку и рассказывают, как ей пользоваться.

Понятие площади многоугольника вводится уже в 8 классе, при этом дается определение площади. Также описывается процесс измерения этой геометрической величины.

И затем, только в конце 8 класса рассматриваются понятия длины окружности и площади круга.

Данный учебник предназначен для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики, поэтому авторы уделили внимание как непосредственному измерению, так и косвенному измерению геометрических величин.

Мы рассмотрели пять учебников геометрии, рекомендованных (допущенных) Министерством Образования и Науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебный год, и можем сделать следующие выводы: в учебниках Атанасяна С. Л. и др. и Александрова А. Д. и др. уделяется внимание непосредственному измерению площадей, различным измерительным инструментам и мерам длин, приводятся задачи как на непосредственное измерение, так и на косвенное измерение геометрических величин. Но в учебнике Александрова А. Д. практически не рассматриваются задачи, в которых отражалась бы значимость измерений в жизни. В отличие от этих учебников, у Погорелова А. В. и у Шарыгина И. Ф. и др. практически не уделяется время вопросам об измерительных инструментах и возможности применения их на практике. В учебнике Смирновых нет задач, показывающих практическую значимость измерений.

Также из проведенного анализа учебников, мы можем сделать вывод, что учащиеся знакомятся с такими методами геометрии как метод подобия, метод площадей, и используют другие методы: метод дополнительных построений, метод вспомогательного треугольника, координатный метод, метод геометрических мест.

Далее мы рассмотрим, с какими измерительными инструментами следует знакомить школьников, и как эти инструменты могут помочь в изучении геометрии.

§ 4. Измерительные инструменты в школе Измерения являются не только неотъемлемой частью процесса обучения математике в школе, но и играют определенную роль в выборе будущей профессии. Уже сейчас возникает острая нехватка профессиональных инженеров, технических специалистов и руководителей среднего звена на производстве. В современном мире область применения измерений геометрических величин чрезвычайно широка.

Измерения являются одной из самых древнейших операций в процессе познания человеком окружающего материального мира. Вся история цивилизации представляет собой непрерывный процесс становления и развития измерений, совершенствования средств, методов измерений, повышения их точности и единообразия мер.

В процессе своего развития человечество прошло путь от измерений на основе органов чувств и частей человеческого тела до научных основ измерений и использования для этих целей сложнейших физических процессов и технических устройств. В настоящее время измерениями охватываются все физические свойства материи практически независимо от диапазона изменения этих свойств.

Несомненно, для того, чтобы измерять какие-либо геометрические величины, нам нужны специальные инструменты — измерительные инструменты.

В соответствии с действующими «Перечнем учебного оборудования по математике для общеобразовательных учреждений России» [19], утвержденными Министерством образования Российской Федерации кабинеты математики должны быть оснащены комплектом средств обучения, выпускаемых промышленностью,. В комплект инструментов классных входит: линейка (рис. 2), транспортир (рис. 3), угольник (30є, 60 є) (рис. 4), угольник (45є, 45є) (рис. 5), циркуль (рис. 6).

Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

Существует множество измерительных приборов, которые человек применяет в своей деятельности. Для более удобного их рассмотрения, разделим эти приборы на группы. За основание классификации примем измеряемую геометрическую величину. Итак, в школьном курсе геометрии средней школы необходимо уметь измерять: длины отрезков, углы, площади.

4.1 Измерительные инструменты для измерения длин отрезков В первую группу инструментов отнесем инструменты, предназначенные для измерения длин отрезков:

— классная линейка;

— масштабная линейка;

— металлическая линейка;

— метр складной,

— мерная лента,

— рулетка и др.

Рис. 7 10 см — более длинными На ребре классной линейки (рис. 7) нанесены сантиметровые деления. Каждые 5 см отделяются удлиненными штрихами, а каждые Наименьшее деление линейки называется ценой деления. Измерения классной линейкой возможны лишь с точностью, не превышающей половины цены деления, то есть с точностью, не превышающей 0,5 см, при этом половина цены деления определяется визуально. Этот измерительный прибор является наиболее распространенным в школе. С помощью него удобно производить построения на классной доске на уроках математики, где точность измерения не всегда имеет значение.

Масштабная линейка является удобным инструментом для школьников. На одном ребре этой линейки нанесены миллиметровые деления. Каждые 5 мм отделяются удлиненными штрихами, а 10 мм — более длинными. Ценой деления масштабной линейки является 1 мм. Незаштрихованное ребро линейки используется для проведения на бумаге прямых линий, при построении различных прямолинейных фигур. Ребро линейки с делениями используется для измерения на бумаге длины отрезка.

Металлическая линейка используется для более тщательных измерений. Различают жесткие и упругие металлические линейки. На одном ребре жесткой линейки нанесены миллиметровые деления. Второе ребро оставлено свободным от делений и используется для проведения прямых линий. Упругая линейка может свертываться в кольцо, благодаря чему она применима для измерения длины кривой линии. Метр складной (рис. 8) обычно состоит из пяти или десяти звеньев, соединенных между собой шарнирами. На одном из ребер метра нанесены миллиметровые деления. Складные метры бывают стальные и деревянные. Стальной метр применяется в слесарном деле, а деревянный является измерительным инструментом плотника и столяра. Практически точность складного метра очень низкая из-за шарнирного соединения звеньев. В связи с этим складные метры применяются лишь в тех случаях, когда не требуется большой точности измерения.

Рис. 8

Существует еще несколько инструментов, предназначенных для измерения длин. Одним из них является мерная лента. Для измерения линейных размеров сравнительно больших предметов используются рулетки: стальная или матерчатая. На стальной ленте рулетки нанесены миллиметровые деления, а на матерчатой — сантиметровые. Матерчатые рулетки применяются в тех случаях, когда не требуется большой точности измерения. Стальная лента используется при измерении расстояний на местности и при съемке планов земельных участков. Ценой деления является дециметр.

Для измерения длин на планах и картах и определения затем расстояний на местности пользуются линейным масштабом. Для его построения необходимо на прямой линии отложить равные отрезки, принимая за единицу меры один сантиметр. Концы отрезков обозначить штрихами, против которых ставятся числа, соответствующие расстоянию на местности. Конец первого отрезка обозначается нулевым штрихом. Этот отрезок делится на десять равных частей. В этом случае точность измерения не будет превышать 1 мм, хотя на глаз она может быть повышена до 0,5 мм. Для получения точности измерения до 0,1 мм служит поперечный масштаб. Этот инструмент применяется в сельском хозяйстве при измерении длины и ширины земельных участков.

О таком измерительном инструменте, как линейка упоминается во всех рассмотренных учебниках. Помимо этого, в учебнике А. Д. Александрова и др. рассматривается вопрос о том, как можно самому сделать инструмент для измерения длин.

Для измерения диаметров поперечного сечения тел цилиндрической формы применяются такие приборы как диаметромер-центроискатель (рис. 9) или мерная вилка лесовода (рис. 10).

Рис. 9

Мерная вилка лесовода состоит из линейки с делениями, неподвижной планки, прикрепленной на конце линейки, и подвижной планки.

Все эти инструменты могут быть использованы при изучении понятия длины отрезка. Учащимся могут быть предложены разные виды задач на:

— измерение длины отрезков, изображенных на бумаге в различных положениях;

Рис. 10

— измерение длины, ширины и высоты прямоугольных параллелепипедов;

— измерение длины, ширины комнаты, коридора, двора;

— измерение расстояний на классном и индивидуальном полигонах;

— измерение расстояний на местности мерной лентой;

— измерение длины шага и измерение расстояний шагами;

— глазомерная оценка небольших расстояний с последующим измерением мерной лентой;

— измерение геометрических величин с помощью частей тела: фаланги пальца, локтя, стопы и др.

— измерение периметров прямолинейных фигур на местности и др.

4.2 Приборы для переноса измеряемого размера с объекта на линейку Очень часто непосредственное измерение рассмотренными инструментами затрудняется или становится невозможным в связи со сложностью измеряемого предмета. В этом случае пользуются особыми инструментами для переноса измеряемого размера с объекта на линейку. Такие инструменты отнесем ко второй группе. Примерами рассматриваемых приборов являются циркуль, кронциркуль, нутромер, рейсмас. Рассмотрим их.

Различают несколько видов циркулей: переносный циркуль и кронциркуль (рис. 11). Переносный циркуль служит для перенесения линейных размеров с объекта на измерительную линейку, для нанесения окружности и дуг на объект. Точность измерения циркулем очень мала, так как она зависит от величины угла раствора ножек, исправности шарнирного соединения, заточки концов игл циркуля и от точности шкалы измерительной линейки.

Рис. 11

Кронциркуль служит для снятия размера диаметров цилиндров и шаров и перенесения его на измерительную линейку. Для снятия внутренних размеров деталей и перенесения их на измерительную линейку служит нутромер (рис. 12). Для более точного измерения диаметров отверстий и других внутренних размеров применяется микрометрический нутромер, дающий результаты с точностью до 0,01 мм. К переносным измерительным инструментам также можно отнести и рейсмас (рис. 13). Рейсмасы бывают разнообразных конструкций.

Рис. 12

Например, столярный рейсмас применяется в столярном деле и служит для перенесения и прочерчивания параллельных линий на устанавливаемом расстоянии. Процесс прочерчивания называется разметкой, а заостренный металлический стержень, прочерчивающий линию, называется чертилкой. Рейсмас с подвижной муфтой состоит из основания, стойки, подвижной муфты и чертилки. Благодаря подвижности муфты и прикрепленной к ней чертилки острие чертилки легко установить под нужным углом и на нужном расстоянии от разметочной плиты.

Рис. 13

Рассмотрение таких инструментов позволит ученикам получить более полное представление о возможностях измерений. При изучении этих приборов с учащимися можно разобрать следующие задачи:

— с помощью кронциркуля определить диаметры данных шаров, цилиндров;

— на деревянном бруске прочертить линию, параллельную ребру бруска на расстоянии нескольких миллиметров;

— определить внутренние размеры отверстий деталей: плиток, трубок и пр.

Для получения при измерении большей точности применяются инструменты с нониусом. В середине 16 века португалец Нуньес изобрел приспособление в виде дополнительной подвижной линейки с особыми делениями. Это приспособление и названо нониусом. Рассмотрим один из инструментов с нониусом: штангенциркуль (рис. 14). На линейке штангенциркуля нанесены миллиметровые деления. На длине рамки нониуса в 9 мм нанесено 10 равных делений. При таком делении нониуса измерения производятся с точностью до 0,1 мм.

Рис. 14

4.3 Инструменты, с помощью которых можно измерить градусную меру угла В третью группу измерительных приборов отнесем те инструменты, с помощью которых можно измерить градусную меру угла — угломеры.

В некоторых современных учебниках геометрии упоминается о таком приборе, как малка (рис. 15). Рассмотрим этот инструмент подробнее.

Малки применяются при измерении и переносе углов с одной детали на другую, а также для проверки углов на изготовленных предметах. Малки бывают различных конструкций. Простая малка состоит из двух подвижных линеек, соединенных с одного конца шарнирным винтом. Такая малка служит для одновременного измерения, переноса и проверки только одного угла.

Рис. 15

Линейки малки устанавливаются под углом, заданным на рабочем чертеже детали, и закрепляются винтом. После этого малка накладывается на проверяемую деталь. В столярном производстве простые малки употребляются при изготовлении деревянных деталей с заданным углом и при разметке материала. Универсальная малка служит для одновременного переноса и проверки двух или трех углов.

Также при изучении темы «Измерение углов» учащиеся и учитель используют такой инструмент как транспортир (рис. 5). Соответственно различают классный и ученический транспортиры.

Классный транспортир используется для измерения и построения на классной доске углов до 180 градусов. Ценой деления такого транспортира является 1 градус. Ученический транспортир устроен также как и классный.

Для построения на местности углов в 45, 90, 135 градусов и других служат экеры (рис. 16). Они бывают различной конструкции: крестообразные, в виде прямоугольного треугольника, квадратной доски, цилиндрические и другие. Экеры применяются в практике не только для построения углов, но и для проведения параллельных и взаимно перпендикулярных линий, для проведения высот в треугольниках, при съемке планов земельных участков и др.

Рис. 16

Еще одним инструментом, упоминавшимся в школьных учебниках является астролябия (рис. 17). Она состоит из лимба с

градусным делением.

В центре лимба прикреплена подвижная алидада

с диоптрами на концах для визирования. Лимб

с алидадой надевается на штырь штатива. Для

ориентирования астролябия снабжается компасом

или буссолью. При помощи астролябии измеряются

и строятся углы в горизонтальной плоскости,

проводятся параллельные и перпендикулярные линии. Усовершенствованные астролябии на конце алидады имеют верньер (круговой нониус) для отсчета долей градуса.

Учащимся могут быть предложены следующие задачи:

— малкой измерить и перенести данный угол на деталь.

— с помощью классного транспортира измерить изображенные на доске углы различной величины.

— экером построить угол на местности в 45°, 90°, 135° и 180.

Рис. 17

4.4 Инструменты для измерения площадей В четвертую группу приборов можно отнести приборы, предназначенные для измерения площадей. Заметим, что непосредственное измерение площадей неудобно, поэтому для их нахождения удобно пользоваться известными математическими теоремами и формулами. Также можно использовать такой прибор как палетка (рис. 18). Это прозрачная пластинка с нанесенной на нее сеткой линий, предназначенная для вычисления площадей на планах и картах, для отсчета координат и т. д.