Точность оценки; доверительный интервал; довериттльная вероятность

Любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда содержит элемент случайности. Это значение называется оценкой параметра.

Например, оценкой математического ожидания может служить среднее арифметическое наблюденных значений СВ в л независимых опытах.

При увеличении числа опытов п -> оо оценка параметра а* должна приближаться (сходиться по вероятности) к параметру а. Такая оценка называется состоятельной. При использовании а* вместо а не должно возникать систематической ошибки. Следовательно, должно выполняться условие М (а*) = а. Оценка, удовлетворяющая этому условию, называется несмещенной.

Эта несмещенная оценка должна обладать наименьшей дисперсией Да*) = min. Тогда ее называют эффективной.

Пусть над случайной величиной Х> числовые характеристики которой ЩХ) и ДА) неизвестны, проведено п опытов. Оценка математического ожидания при этом.

В условиях ограниченного объема статистического материала, когда п <, 30 использование выражений, приведённых в разделе 7, для вычисления дисперсии может привести к смещению оценки дисперсии. Для получения ее несмещенной оценки пользуются формулой.

В задачах обработки статистической информации требуется найти не только точечные значения числовых характеристик параметров распределения СВ, но и оценить их точность и надежность. Требуется знать, с какой степенью уверенности можно ожидать, что возможные ошибки не выйдут за допустимые пределы. Такие задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка параметра распределения а* в значительной мере случайна и приближенная замена а на а* может привести к серьезным ошибкам. Для их устранения пользуются интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала.

Пусть для параметра а случайной величины получена оценка а*. Необходимо оценить возможную при этом ошибку; Ь — точность оценки.

Доверительной вероятностью (надежностью) называют вероятность, с которой выполняется неравенство |в-а*| <6:

Тогда Р (а — 6 < а < а' + б) = р. То есть, свероятностью р неизвестное значение параметра а попадет в интервал (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Доверительный интервал, верхняя а, и нижняя доверительные границы а_п возможного изменения параметра, а при доверительной вероятности Д При этом величина а не случайна, а интервал /_р случаен; случайны его положение на оси, определяемое центром а, и длина интервала 26.

Поэтому величина р — это вероятность того, что интервал /_р заключает в себе неизвестный параметр а.

Если событие, происходящее с вероятностью, а = 1 — р, считать практически невозможным, то те значения параметра а, для которых |j* - flj > 6, противоречат опытным данным, а те, для которых |д* - д| > 5, — совместимы с ними.

Закон распределения оценки а* зависит от закона распределения СВ X и, следовательно, от его неизвестных параметров, в частности, а.

Но согласно центральной предельной теореме при проведении п независимых опытов закон распределения СВ близок к нормальному.

При этом условии и после ряда преобразований доверительный интервал выражается через величину r_p = arg* j ^в следующем виде: где.

ip — табулированная величина, определяющая для нормального закона распределения СВ число средних квадратических отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания, для того, чтобы вероятность попадания в полученный интервал была равна 3;

 — нормальная функция распределения СВ с параметрами М (Х) = 0 и Дисперсия, через которую выражена величина см^х) ^в (8.16), в точности неизвестна. В качестве её ориентировочного значения используется приближённая оценка.

Тогда доверительный интервал определяется как.

Ширина доверительного интервала характеризует точность выборочной оценки, а доверительная вероятность р — достоверность оценки. Чем больше р, тем шире доверительный интервал.

В энергетике р обычно принимается в пределах 0,8…0,99.

Пример. Наблюдения за нагрузкой промышленного объекта проводились в течение п = 50 суток и показали, что её средняя величина составила М*(Р) = 128,5 МВт со среднеквадратическим отклонением а), = 10 МВт. Найти доверительные интервалы для средней нагрузки с доверительными вероятностями р = 0,8; р = 0,9; р = 0,95.

Решение. При заданных значениях р табличные значения /р [73 и др-J соответствуют следующим величинам:

При вычислениях по (8.17) получим верхнее и нижнее /"" значения доверительного интервала, МВт:

При р = 0,95 есть 95%-ная уверенность, что средняя нагрузка рассматриваемого производственного объекта находится между двумя значениями: 125,73 и 131,27 МВт. Интервал в ±2,771 МВт составляет примерно 2,16% среднестатистической нагрузки. Однако необходимо учитывать, что в 5% случаев значение нагрузки может быть вне доверительного интервала.

Пользуясь методом доверительных интервалов можно оценить, каково должно бьггь количество наблюдеий (опытов) п для того, чтобы с доверительной вероятностью р ожидать, что ошибка от замены вероятности частотой не превзойдёт заданного значения.

Пример. Для условий предыдущего примера определить, каков должен быть объём выборки п, чтобы с вероятностью р = 0,95 ширина доверительного интервала (МВт) лежала в пределах /_{0 95} = [128,5 ± 2].

Решение. Ширина доверительного интервала определяется из условия (8.17) значением ±/. Дь. В наших условиях /₀? 2. Следовательно, /_09 $ ~г < 2 МВт.

ул >/л ' >/л Отсюда

Для различных законов распределения используются методы определения доверительных интервалов в соответствии с рекомендациями [8, 73].

Так, если известно, что при биномиальном законе распределения вероятность события равна р, а при л независимых опытах это событие имело место т раз, то доверительные границы для р находятся по следующим выражениям:

Если m = 0, то

Коэффициенты /?2, Pq для соответствующих доверительных вероятностей находятся по таблицам (73].

Пример. При п = 1 000 опытов с^{восстанавливаемыми} изделиями зарегистрировано т = 100 отказов. Найти доверительные границы дтя вероятности отказа при р = 0,95.

Решение. Для т = 0 и — = 0,1 при р = 0,95 по [73] находим: R2 = 0,86. п

В соответствии с (8.18) имеем:

Пример. При 100 зарегистрировано грозовых перенапряжениях на воздушных ЛЭП не было зафиксированного ни одного нарушения электроснабжения потребителей. Найти доверительные границы для вероятности безотказной работы при р = 0,90.

Решение. По таблицам [73] для р = 0,90, т = 0ия = 100 находим Ro = 2,28.

По (8.19) для вероятности отказа получаем.

Вероятность безотказной работы определится как.

Известно, что число зарегистрированных наработок исследуемых элементов (объектов, изделий) п связано с числом зарегистрированных отказов т. При этом возможны три случая: отказов не было (т = 0); все изделия доработали до отказа (т = л); не все изделия доработали до отказа (т < п).

В предположении экспоненциального закона распределения доверительные границы параметра потока отказов определяются [8]:

— для первого случая —

Р — доверительная вероятность;

N — общее число объектов; т — число зарегистрированных отказов.

Пример. За год эксплуатации зарегистрирован т = 21 случайных отказов воздушных выключателей U = 330 кВ при отключении ими коротких замыканий. Число эксплуатируемых выключателей составляло N= 1 750 шт. Оценить средний параметр потока отказов и его доверительные границы с доверительной вероятностью р = 0,95.

Решение. Примем гипотезу об экспоненциальном распределении для наработки на отказ, используя следующие выражения и соответствующие таблицы квантилей распределения у} [73 и др.):