Метод разделения переменных в задаче равновесия радиально неоднородного кругового цилиндра

Метод разделения переменных в трехмерной задаче

В гл. 4 при обсуждении применимости численно-аналитического метода было отмечено, что его использование возможно при условии одномерной неоднородности упругих свойств материала, а также при некоторых ограничениях на граничные условия. Аналогично и в данном случае в уравнениях (5.9)—(5.11) удается разделить переменные, если при рассмотрении равновесия кругового цилиндра ввести следующее ограничение, относящееся к граничным условиям на его торцах, — горцы цилиндра находятся между двумя жесткими абсолютно гладкими плитами или, что-то же самое, торцы цилиндра шарнирно закреплены (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Цилиндр со скользящим (сверху) или с шарнирным (снизу) опиранием торцов.

Рис. 5.2. Цилиндр с периодическими нагрузками.

Для схем закреплений, показанных на рис. 5.1, граничные условия на торцах цилиндра имеют вид.

Заметим, что при наличии периодических нагрузок вдоль оси 2 (рис. 5.2), вырезая из цилиндра слой толщиной II, где Н — длина участка, соответствующая периоду нагрузки, можно точно удовлетворить граничным условиям (5.12).

Другой искусственный способ закрепления торцов цилиндра, при котором также удается разделить переменные, заключается в наличии на торцах нерастяжимой абсолютно гибкой мембраны. Мембрана не допускает перемещений точек торца цилиндра в своей плоскости, а за счет свободных перемещений в осевом направлении на торцах цилиндра отсутствуют нормальные напряжения. Таким образом, граничные условия на торцах в данном случае представляются в виде.

На практике обычно встречаются цилиндрические элементы конструкций, имеющие свободные или жестко защемленные торцы. Для этих двух случаев граничные условия соответственно записываются следующим образом:

Граничные условия вида (5.12) или (5.13) достаточно редко встречаются в практических задачах. Рассматриваемый далее численно-аналитический метод расчета радиально неоднородных цилиндров можно применять при анализе напряженно-деформированного состояния цилиндра в зонах, достаточно удаленных от торцов, или использовать дополнительные приемы, позволяющие приближенно удовлетворять реальным граничным условиям типа (5.14) и (5.15) (один из таких способов будет рассмотрен ниже).

Еще одним дополнительным ограничением применимости рассматриваемого метода является необходимость наличия по крайней мере одной плоскости симметрии, проходящей через ось 2. В этом случае можно рассматривать половину цилиндра и на двух гранях, образованных сечением цилиндра указанной плоскостью (рис. 5.3), должны выполняться равенства

Решение уравнений (5.9)—(5.11) предлагается искать в виде.

Рис. 5.3. Расчетная схема цилиндра.

где k_n = пп/Н.

Такой вид решения обеспечивает автоматическое удовлетворение условиям (5.12) и (5.16), а граничные условия на боковых поверхностях цилиндра.

могут быть использованы при нахождении функций и_тп(г), v_mn® и w,""(>')? Для этого поверхностные нагрузки р, q и t следует также представить в виде двойных тригонометрических рядов:

Коэффициенты разложений (5.19) определяются по известным формулам [ 291:

Здесь и далее через /обозначен двойной интеграл по 0 от О до я и по z от 0 до Н от функции, стоящей в скобках. Индексы при /указывают сомножители под интегралом: с, стоящий на первом месте, означает cosw0, на втором — cos&"z; s — синус тех же аргументов; 1 — отсутствие сомножителя. Например:

Вынужденные деформации и объемные нагрузки также раскладываются в ряды Фурье тина (5.17):

где функции R_mn, T_mn, Z_mn и g_mn вычисляются следующим образом:

Подстановка выражений (5.17) и (5.21) в уравнения (5.9)—(5.11) позволяет, группируя слагаемые при соответствующих тригонометрических функциях и приравнивая их нулю, написать следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Таким образом, решение краевой трехмерной задачи для кругового радиально неоднородного цилиндра может быть получено на основании решения уравнений (5.22)—(5.24) с граничными условиями (5.18). Входящие в условия (5.18) напряжения, а также напряжения а₀, а, и могут быть получены из формул (5.1) после подстановки в них выражений (5.17) и представлены в виде рядов.

где.

Следует обратить внимание на то, что начало суммирования в рядах (5.25) определяется формулами (5.17), а также тем, что при дифференцировании перемещений по 0 и z производные от cosmG и sin?"z при т = 0 и п = 0 обращаются в нуль.

В заключение данного подпараграфа можно добавить, что, если в формулах (5.17) поменять синусы и косинусы аргумента k_>tz, то полученное решение будет тождественно удовлетворять граничным условиям (5.13), что позволяет получить другой способ решения трехмерной задачи.